Warum geht dieser Ausdruck gegen 0 (Integral)?

Question

Hey, könnt ihr mir vielleicht sagen, warum dieser Ausdruck gegen 0 geht?

\(  \lim_{n \rightarrow \infty }\frac{250}{n} \int \limits_{\{ \vert X_{n,1}\vert\geq n/200 \varepsilon\}}X^2_{n,1}d\; \mathbb{P} =0 \)

Hierbei sind \(  X_1,\cdots , X_n  \) iid verteilte Zufallsvariablen. Wisst ihr vielleicht ein Argument?

Ich wäre für jede Hilfe dankbar:)

LG

Comments

Zu dieser Aufgabe gehört auch dazu anzugeben, was \(X_{n,1}\) ist und welches Maß \(\mathbb P\) ist.

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Hey, vielen Dank für deine Rückfrage. Ich hoffe, dass das die benötigten Informationen sind:

 \(  \mathbb{P}(X_n=-\sqrt{n})=\frac{1}{8} \;  \mathbb{P}(X_n=0)=\frac{3}{8} \;  \mathbb{P}(X_n=\sqrt{n})=\frac{1}{2}\)

X_n,1 sind iid verteilte Zufallsvariablen

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Und wo steht das \(\epsilon\)? Und was ist das? Das klassische \(\epsilon >0\)?

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Danke für deine Nachfrage. Das steht nicht explizit in der Aufgabe, aber anhand von einer anderen Aufgabe vermute ich, dass es gerade die Werte sind, die \( \epsilon \) annehmen kann, also gerade \(\sqrt{n}, 0, -\sqrt{n}\)

Answer 1

Ich bezeichne die Zufallsgröße nur mit \(X\). Das \(200\epsilon\) stopf ich mal in eine Konstante \(c>0\). Dann gilt

$$\int_{\left\{|X|\geq\frac nc\right\}}x^2\;dP_{X} = \sum_{\stackrel{|x|\geq \frac nc}{|x|=\sqrt n}}x^2P_X(X=x)$$

Nun gilt

$$\frac nc > \sqrt n \Leftrightarrow \sqrt n > c \Leftrightarrow n>c^2$$

Das heißt, für \(n >c^2\) ist die Summe leer und somit gleich 0. Daher

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{\stackrel{|x|\geq \frac nc}{|x|=\sqrt n}}x^2P_X(X=x) = 0$$

Der Faktor \(\frac{250}n\) spielt also gar keine Rolle bei diesem Grenzwert.

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Vielen vielen Dank!!!!