Hohlkugel Näherungswert für Volumen

Question

Aufgabe:

Ist der Wert von d sehr viel kleiner als der von ra so gilt näherungsweise V ≈ O • d = 4•pi•ra^2 • d. Begründe diese Näherung.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Idee, wie ich das ganze herleiten soll. Es geht um das Volumen einer Hohlkugel.

Kann mir da bitte jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

Hohlkugel → äußere minus innere Kugel

V=4/3 π r³ - 4/3 π (r-d)³

(r-d)³=r³-3r²d +3rd²-d³

Für kleine Werte von d kann +3rd²-d³ vernachlässigt werden.

V=4/3 π r³ - 4/3 π (r-d)³

≈ 4/3 π r³ - 4/3 π (r³-3r²d)

=4/3 π r³ - 4/3 π r³ + 4πr²d

= 4πr²d

:-)

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Hat mir sehr weitergeholfen! :)

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Danke für die Rückmeldung.

:-)

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Ich habe auch so eine ähnliche Aufgabe. Könntest du mir bitte erläutern, warum +3rd²-d³ vernachlässigt werden kann?

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Setz mal d=r/100.

Dann wird

r³-3r²d +3rd²-d³

zu

r³-3r²•0.01r +3r•0.0001r²-0.000001r³

=r³-0.03r³  +0.0003r³-0.000003r³

Die beiden letzten Summanden sind deutlich kleiner als die ersten beiden.

Das gilt aber nur, wenn d sehr viel kleiner als r ist.

:-)

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Danke schön für diese super ausführliche und schnelle Antwort! Jetzt kann ich meine Aufgabe definitiv gut weiterführen!