Beweise zum Kreis von Apollonius

Question

Aufgabe:

Seien A, B ∈ R² zwei verschiedene Punkte. Wir wollen in dieser Aufgabe zeigen, dass die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis der Entfernungen zu A und B einen vorgegebenen Wert λ ∈ R_>0 \ {1} hat, einem Kreis entspricht. Dazu gehen wir wie folgt vor:

a) Sei λ ∈ R>0 \ {1}. Geben Sie eine Parametrisierung g(t) der Geraden AB mit Aufpunkt A an und berechnen Sie die Parameterwerte t₁, t₂ ∈ R (in Abhängigkeit von λ), für die gilt
 \( \frac{|Ag(ti)|}{|Bg(ti)|} \) = λ.

b) Zeigen Sie, dass ein Punkt P ∈ R² mit \( \frac{|AP|}{|BP|} \) = λ auf dem Kreis mit Durchmesser g(t1)g(t2) liegt.

c) Geben Sie die Kreisgleichung des Kreises mit Durchmesser g(t1)g(t2) an. Treffen Sie dafür möglichst vereinfachende Annahmen für A, B.

d) Zeigen Sie die Umkehrung zu Aufgabenteil c): Jeder Punkt Q auf dem Kreis zur Grundseite g(t1)g(t2) erfüllt das Abstandsverhältnis \( \frac{|AQ|}{|BQ|} \) = λ

Problem/Ansatz:

Mir ist bewusst, um was es sich beim Kreis des Apollonius handelt (Ein Kreis auf dessen Rand die Abstände von zwei Punkten immer im gleichen Verhältnis stehen). Allerdings komme ich bei den Aufgaben leider trotzdem nicht weiter. Vielleicht hat ja jemand Ansätze oder Lösungsvorschläge dazu, dafür wäre ich auf jede. Fall sehr dankbar.

Answer 1

Hallo,

Allerdings komme ich bei den Aufgaben leider trotzdem nicht weiter.

Wäre schön zu wissen wie weit Du gekommen bist. Teil a) ist jetzt nicht sooo schwierig

a) Geben Sie eine Parametrisierung g(t) der Geraden AB mit Aufpunkt A an

$$g(t)=A + t(B-A)$$

... und berechnen Sie die Parameterwerte t₁, t₂ ∈ R (in Abhängigkeit von λ), für die gilt \( \frac{|Ag(ti)|}{|Bg(ti)|} \) = λ.

$$\begin{aligned} \left|\frac{Ag(t)}{Bg(t)}\right| &= \lambda \\ \frac{|g(t) - A|}{|g(t) - B|} &= \lambda \\ \frac{|A + t(B-A) - A|}{|A + t(B-A) - B|} &= \lambda \\ \frac{|t(B-A)|}{|t(B-A) -(B- A)|} &= \lambda \\ \frac{|t|}{|t -1|} &= \lambda \\ \frac{t}{t-1} &= \pm \lambda \\ t &= \pm\lambda(t-1) \\ t&= \pm\lambda t - \pm \lambda \\ t -\pm\lambda t &= \mp\lambda \\ t(1 + \mp\lambda) &= \mp\lambda \\ t_{1,2} &= \frac{\mp\lambda}{1 + \mp\lambda} \end{aligned}$$Zum Beispiel: $$\lambda = 2 \implies t_1 = 2,\quad t_2= \frac{2}{3}$$

b) Zeigen Sie, dass ein Punkt P ∈ R2 mit \( \frac{|AP|}{|BP|} \) = λ auf dem Kreis mit Durchmesser g(t1)g(t2) liegt.

... dann liegt der Mittelpunkt des Kreises zwangsläufig in der Mitte - also bei \(g\left(\frac{1}{2}(t_1+t_2)\right)\)$$\begin{aligned}t_{m} &= \frac{1}{2}(t_1+t_2) \\&= \frac{1}{2}\left(\frac{-\lambda}{1-\lambda} + \frac{\lambda}{1+\lambda}\right) \\&= \frac{1}{2} \cdot \frac{-\lambda(1+\lambda) + \lambda(1-\lambda)}{1-\lambda^2} \\&= \frac{1}{2} \cdot \frac{-\lambda^{2}}{1-\lambda^2}\end{aligned}$$und den Radius bekommt man auch so raus:$$r=\frac{\lambda}{|1-\lambda^2|}|AB|$$... und mit 3-mal Pythagoras geht es weiter.

Versuche es mal selber.

Gruß Werner

Comments

Guten Morgen, schonmal sehr vielen Dank für die Antwort, es hat mir auf jeden Fall sehr weiter geholfen.

Für die b) hatte ich im laufe des Abends auch eine Lösung gefunden, welche aber einen anderen Ansatz verfolgt, und zwar über den Thales-Kreis.

für die Punkte g(t1) mit TV(ABg(t1)) = -K und g(t2) mit TV(ABg(t2)) = K gilt,

sei ABP ein Dreieck. Genau dann sind g(ti) genau die Schnittpunkte der Winkelhalbierende vom Winkel APB durch P mit der Gegenseite, wenn AP:BP = Ag(ti):Bg(ti).

Somit müssen die Strecken Pg(t1) und Pg(t2) mit der Winkelhalbierenden des Dreiecks APB übereinstimmen.

Dadurch gilt Pg(t1) senkrecht zu Pg(t2) und P liegt nach sim Satz von Thales auf k über dem Durchmesser g(t1)g(t2).

Sie könnten mich ja mal wissen lassen, ob der Ansatz auch korrekt ist oder ob er fehlerhaft ist.

Zu c) Hier habe ich lediglich die Koordinatenform der Kreisgleichung verwendet mit

(x-m₁)²+(y-m₂)²=r^2.

Dann habe ich die Punkte A(0I0) und B (3I0), wodurch ich ein M mit (4I0) erhalte.

Alles eingesetzt wäre dies

(x-4)²+(y-0)²=(\( \frac{g(t1)g(t2)}{2} \))²

Ich glaube aber nicht, dass die Aufgabe so stimmt, da ich hier ja einen festen Radius von 2 bräuchte, dass es passt.

Zu d) Bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht sicher, was genau mit Kreis zur Grundseite gemeint ist und wo Q genau liegen soll, da in b ja schon bewiesen wurde, dass ein Punkt der auf dem Kreis liegt das Abstandsverhältnis einhält.