Hallo,
Wenn man einen Punkt P an einer Geraden spiegelt, so wäre eine Lösung, die Projektion (den Fußpunkt F) auf eben der Geraden zu berechnen und anschließend den Punkt P an F zu spiegeln.
Das Spiegelbild von P ist dann P′P′=F+(F−P)=2F−Pund für den Fußpunkt F giltF=∣r∣rcos(α)⋅∣P∣=∣OF∣⟨∣r∣r,P⟩der orange farbende Vektor ist der Einheitsvektor r/∣r∣ in Richtung der Geraden. Hier ist:r=⎝⎛−101⎠⎞Der Term in spitzen Klammern ist das Skalarprodukt des Einheitsvektors mit dem Ortsvektor von P und damit gleichzeitig der (vorzeichenbehaftete) Abstand |OF|.
Das ganze in Matrixschreibweise gibt dannF=∣r∣r⟨∣r∣r,P⟩=∣r∣21rrTPBeachte, das es sich bei rrT um das dyadische Produkt handelt, also um eine Matrix. Und zum Spiegelpunkt P′ kommt man dann überP′=2F−P=∣r∣22rrTP−PP′=(∣r∣22rrT−1)Pund der Term vor dem P ist bereits die gesuchte Matrix. Man braucht nur noch das r einzusetzen:∣r∣22rrT−1=22⎝⎛10−1000−101⎠⎞−⎝⎛100010001⎠⎞∣r∣22rrT−1=⎝⎛00−10−10−100⎠⎞
Der Weg, den Dir abakus vorgeschlagen hat, geht über die räumliche Vorstellung. Sieh Dir dazu folgende Szene in Geoknecht3D an:

Klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus, damit Du eine bessere räumliche Vorstellung bekommst.
Die gegebene Ursprungsgerade ist blau eingezeichnet. Den Einheitsrichtung in X-Richung ex=(1∣0∣0) habe ich schwarz eingezeichnet. Da die Spiegelgerade gleichzeitig die Winkelhalbierende von X und −Z ist, ist offensichtlich das Spiegelbild von exex′=⎝⎛00−1⎠⎞und so einfach kommst Du auch zu ey′ und ez′. Stelle die drei gespiegelten Vektoren neben einander und Du erhältst die gewünschte Matrix.
Gruß Werner