Abbildungsmatrix der Spiegelung an der Geraden t

Question

Hallo!

Aufgabe:

Bestimme die Abbildungsmatrix der Spiegelung an der Geraden $t \mapsto\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) t$.

Problem/Ansatz:

Könnte jemand mit mir die Aufgabe schrittweise durchgehen? Wir haben solche Aufgabentypen leider nicht behandelt, weshalb ich ein wenig mit der Aufgabenstellung überfordert bin. Ich wäre wirklich sehr froh, wenn einer mit mir die Aufgabe durchgehen könnte.

Answer 1

Da brauchst du nur drei Punkte und ihre Bilder.

Der Punkt (0|1|0) wird zu (0|-1|0)

Die gesuchte Matrix muss also so sein, dass

$\begin{pmatrix} a & b &c\\ d& e&f\\g&h&i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\-1\\0\end{pmatrix}$ gilt.

Daraus werden die Gleichungen

b=0

e=-1

h=0

Der Punkt (-1|0|0) wird zu (0|0|1)
Die gesuchte Matrix muss also so sein, dass
$\begin{pmatrix} a & b &c\\ d& e&f\\g&h&i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\0\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}$ gilt.

Daraus werden die Gleichungen

-a=0

-d=0

-g=1, also g=-1.

Umgekehrt wwird natürlich auch  (0|0|1) zu  (-1|0|0) .
Die gesuchte Matrix muss also so sein, dass
$\begin{pmatrix} a & b &c\\ d& e&f\\g&h&i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\0\\0\end{pmatrix}$ gilt.

Daraus werden die Gleichungen

c=-1

f=0

i=0.

Somit hast du alle 9 Elemente der Matrix.

Comments

Vielen Dank für deine Rückmeldung.

Es sind einige Dinge noch unklar: Was passiert eigentlich mit dem Vektor (-1 0 1)?

Und wie bist du auf die Punkte (0 1 0), (-1 0 0), (0 0 1)  gekommen? Ich hab die Theorie noch nicht ganz durchblickt

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Ich habe mir Punkte herausgesucht von denen ich weiß, dass sie bei dieser Spiegelung an der Gerade mit dem roten Richtungsvektor ineinander überführt werden (C in D, E in F und umgekehrt).

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Das check ich noch nicht. Mir fällt das thema sehr schwer, da wir solche Aufgabentypen nie wirklich behandelt haben.

Answer 2

Hallo,

Wenn man einen Punkt $P$ an einer Geraden spiegelt, so wäre eine Lösung, die Projektion (den Fußpunkt $F$) auf eben der Geraden zu berechnen und anschließend den Punkt $P$ an $F$ zu spiegeln.

Das Spiegelbild von $P$ ist dann $P'$$$P' = F + (F-P) = 2F - P$$und für den Fußpunkt $F$ gilt$$F = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \underbrace{\left<\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|},\, P\right>}_{\cos(\alpha) \cdot |P| = |OF|}$$der orange farbende Vektor ist der Einheitsvektor $\vec{r}/|\vec{r}|$ in Richtung der Geraden. Hier ist:$$\vec{r}= \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}$$Der Term in spitzen Klammern ist das Skalarprodukt des Einheitsvektors mit dem Ortsvektor von $P$ und damit gleichzeitig der (vorzeichenbehaftete) Abstand |OF|.

Das ganze in Matrixschreibweise gibt dann$$\begin{aligned} F &= \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \left<\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|},\, P\right> \\ &= \frac{1}{|\vec{r}|^2} \vec{r}\vec{r}^T P \end{aligned}$$Beachte, das es sich bei $\vec{r}\vec{r}^T$ um das dyadische Produkt handelt, also um eine Matrix. Und zum Spiegelpunkt $P'$ kommt man dann über$$P' = 2F - P = \frac{2}{|\vec{r}|^2} \vec{r}\vec{r}^T P - P \\ \phantom{P'} = \left( \frac{2}{|\vec{r}|^2} \vec{r}\vec{r}^T - \underline 1\right)P$$und der Term vor dem $P$ ist bereits die gesuchte Matrix. Man braucht nur noch das $\vec{r}$ einzusetzen:$$\frac{2}{|\vec{r}|^2} \vec{r}\vec{r}^T - \underline 1 = \frac{2}{2}\begin{pmatrix}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \\ \phantom{\frac{2}{|\vec{r}|^2} \vec{r}\vec{r}^T - \underline 1}= \begin{pmatrix}0& 0& -1\\ 0& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{pmatrix}$$

Der Weg, den Dir abakus vorgeschlagen hat, geht über die räumliche Vorstellung. Sieh Dir dazu folgende Szene in Geoknecht3D an:

Klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus, damit Du eine bessere räumliche Vorstellung bekommst.

Die gegebene Ursprungsgerade ist blau eingezeichnet. Den Einheitsrichtung in X-Richung $e_x=(1|0|0)$ habe ich schwarz eingezeichnet. Da die Spiegelgerade gleichzeitig die Winkelhalbierende von $X$ und $-Z$ ist, ist offensichtlich das Spiegelbild von $e_{x}$$$e_{x}' = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ -1\end{pmatrix}$$und so einfach kommst Du auch zu $e_{y}'$ und $e_{z}'$. Stelle die drei gespiegelten Vektoren neben einander und Du erhältst die gewünschte Matrix.

Gruß Werner