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Hallo!

Aufgabe:

Bestimme die Abbildungsmatrix der Spiegelung an der Geraden t(101)t t \mapsto\left(\begin{array}{c}-1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) t .


Problem/Ansatz:

Könnte jemand mit mir die Aufgabe schrittweise durchgehen? Wir haben solche Aufgabentypen leider nicht behandelt, weshalb ich ein wenig mit der Aufgabenstellung überfordert bin. Ich wäre wirklich sehr froh, wenn einer mit mir die Aufgabe durchgehen könnte.

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Da brauchst du nur drei Punkte und ihre Bilder.

Der Punkt (0|1|0) wird zu (0|-1|0)

Die gesuchte Matrix muss also so sein, dass

(abcdefghi)(010)=(010) \begin{pmatrix} a & b &c\\ d& e&f\\g&h&i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\-1\\0\end{pmatrix} gilt.

Daraus werden die Gleichungen

b=0

e=-1

h=0


Der Punkt (-1|0|0) wird zu (0|0|1)
Die gesuchte Matrix muss also so sein, dass
(abcdefghi)(100)=(001) \begin{pmatrix} a & b &c\\ d& e&f\\g&h&i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\0\\0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix} gilt.

Daraus werden die Gleichungen

-a=0

-d=0

-g=1, also g=-1.


Umgekehrt wwird natürlich auch  (0|0|1) zu  (-1|0|0) .
Die gesuchte Matrix muss also so sein, dass
(abcdefghi)(001)=(100) \begin{pmatrix} a & b &c\\ d& e&f\\g&h&i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1\\0\\0\end{pmatrix} gilt.

Daraus werden die Gleichungen

c=-1

f=0

i=0.

Somit hast du alle 9 Elemente der Matrix.

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Vielen Dank für deine Rückmeldung.

Es sind einige Dinge noch unklar: Was passiert eigentlich mit dem Vektor (-1 0 1)?

Und wie bist du auf die Punkte (0 1 0), (-1 0 0), (0 0 1)  gekommen? Ich hab die Theorie noch nicht ganz durchblickt

blob.png

Ich habe mir Punkte herausgesucht von denen ich weiß, dass sie bei dieser Spiegelung an der Gerade mit dem roten Richtungsvektor ineinander überführt werden (C in D, E in F und umgekehrt).

Das check ich noch nicht. Mir fällt das thema sehr schwer, da wir solche Aufgabentypen nie wirklich behandelt haben.

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Hallo,

Wenn man einen Punkt PP an einer Geraden spiegelt, so wäre eine Lösung, die Projektion (den Fußpunkt FF) auf eben der Geraden zu berechnen und anschließend den Punkt PP an FF zu spiegeln.

blob.png

Das Spiegelbild von PP ist dann PP'P=F+(FP)=2FPP' = F + (F-P) = 2F - Pund für den Fußpunkt FF giltF=rr<rr,P>cos(α)P=OFF = \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \underbrace{\left<\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|},\, P\right>}_{\cos(\alpha) \cdot |P| = |OF|}der orange farbende Vektor ist der Einheitsvektor r/r\vec{r}/|\vec{r}| in Richtung der Geraden. Hier ist:r=(101)\vec{r}= \begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix}Der Term in spitzen Klammern ist das Skalarprodukt des Einheitsvektors mit dem Ortsvektor von PP und damit gleichzeitig der (vorzeichenbehaftete) Abstand |OF|.

Das ganze in Matrixschreibweise gibt dannF=rr<rr,P>=1r2rrTP\begin{aligned} F &= \frac{\vec{r}}{|\vec{r}|} \left<\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|},\, P\right> \\ &= \frac{1}{|\vec{r}|^2} \vec{r}\vec{r}^T P \end{aligned}Beachte, das es sich bei rrT\vec{r}\vec{r}^T um das dyadische Produkt handelt, also um eine Matrix. Und zum Spiegelpunkt PP' kommt man dann überP=2FP=2r2rrTPPP=(2r2rrT1)PP' = 2F - P = \frac{2}{|\vec{r}|^2} \vec{r}\vec{r}^T P - P \\ \phantom{P'} = \left( \frac{2}{|\vec{r}|^2} \vec{r}\vec{r}^T - \underline 1\right)Pund der Term vor dem PP ist bereits die gesuchte Matrix. Man braucht nur noch das r\vec{r} einzusetzen:2r2rrT1=22(101000101)(100010001)2r2rrT1=(001010100)\frac{2}{|\vec{r}|^2} \vec{r}\vec{r}^T - \underline 1 = \frac{2}{2}\begin{pmatrix}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ -1& 0& 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \\ \phantom{\frac{2}{|\vec{r}|^2} \vec{r}\vec{r}^T - \underline 1}= \begin{pmatrix}0& 0& -1\\ 0& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{pmatrix}


Der Weg, den Dir abakus vorgeschlagen hat, geht über die räumliche Vorstellung. Sieh Dir dazu folgende Szene in Geoknecht3D an:

blob.png

Klick auf das Bild und rotiere die Szene mit der Maus, damit Du eine bessere räumliche Vorstellung bekommst.

Die gegebene Ursprungsgerade ist blau eingezeichnet. Den Einheitsrichtung in X-Richung ex=(100)e_x=(1|0|0) habe ich schwarz eingezeichnet. Da die Spiegelgerade gleichzeitig die Winkelhalbierende von XX und Z-Z ist, ist offensichtlich das Spiegelbild von exe_{x}ex=(001)e_{x}' = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ -1\end{pmatrix}und so einfach kommst Du auch zu eye_{y}' und eze_{z}'. Stelle die drei gespiegelten Vektoren neben einander und Du erhältst die gewünschte Matrix.

Gruß Werner

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