Lineare Abbildung in einem Körper

Question

Hallo, wie kann man zeigen, dass die Abbildung f: K → K, x ↦ x²  genau dann K-linear ist, wenn |K|=2 gilt? (K ist hier ein beliebiger Körper)

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Jeder Körper K enthält die beiden verschiedenen Elemente 0 und 1.

Wenn f: K → K, x ↦ x²  K-linear ist, gilt

      f(1+1) = f(1) + f(1)

==>    (1+1)^2 =1^2 + 1^2 = 1 + 1

links die Kl. auflösen.

 ==>  1^2 + 1*1+1*1+1^2 = 1+1

==>   1+1+1+1=1+1

==>    1+1=0 .

Also ist die Frage zu klären, in welchen Körpern

gilt 1+1=0  ?

Angenommen, es gibt außer 0 und 1 ein weiteres Element x,

das von den beiden verschieden ist.  #

Betrachte nun x+1. Das kann nicht 1 sein, dann wäre x=0

Es kann auch nicht x sein, dann wäre 1=0, also gilt x+1=0

==>   x=-1 = 1  . Widerspruch zu #

Ist umgekehrt K ein Körper mit genau 2 Elementen, also 0 und 1,

dann gilt 1+1=0, weil  1+1=1 wegen 1≠0 nicht möglich ist.