Wie kann man diese Basis zeigen?

Question

Hallo,

Sei K eine Körper. Wie zeigt man, dass {X^k (1-X)^2-k : k ∈ {0,1,2} eine Basis des K-VR

K₂ [X] = {p∈K[X]: grad(p) ≤2} ist?

Answer 1

Die Elemente von K₂ [X] = {p∈K[X]: grad(p) ≤2}

sehen alle so aus (mit a,b,c aus K ):   aX² + bX + c.

Und es gilt :

M:= {X^k (1-X)^2-k : k ∈ {0,1,2} = { X⁰(1-X)² ;  X¹(1-X)¹ ;  X²(1-X)⁰ }

                     = {(1-X)² ;  X(1-X) ;  X²}

                            = {X²-2X+1 ;  X-X² ;  X²}

Um mit M ein Element aX^2 + bX + c darzustellen, nimmst du

den Ansatz r(X²-2X+1)+s(X-X²)+tX²

          = (r-s+t)X² +(-2r+s)X + r

Vergleich mit aX^2 + bX + c zeigt

r=c und s=b+2c und t= a+b+c .

Also ist M ein Erzeugendensystem für K₂[X].

Und weil es 3 Stück sind, ist es auch eine Basis.