Aufgabe:
Bestimmen Sie den Term einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse verläuft, durch den Punkt A(0/2) geht und den Tiefpunkt B(1/0) hat.
Text erkannt:
Schnittpunkte mit den \( x \)-Achsen und Extrempunkte. Skizzieren Sie den Graphen.
b) Für welche Werte von c hat die Gleichung \( \frac{1}{48}\left(x^{4}-24 x^{2}+80\right)=c \) vier, drei, zwei, eine oder keine Lösung?
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Ganzrationale Funktionen lassen sich mithilfe des allgemeinen Ansatzes
\( f(x)=a x^{n}+b x^{n-1}+\ldots \) aus der Angabe verschiedener Eigenschaften bestimmen.
Beispielsweise hat eine ganzrationale Funktion 3. Grades die allgemeine Darstellung \( f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d \) und somit gilt \( f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+2 b x+c \). Mit ausreichend vielen Eigenschaften lässt sich so ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen.
Bestimmen Sie den Term
a) einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, deren Graph achsensymmetrisch bzgl. der \( y \)-Achse verläuft, durch den Punkt \( A(0 \mid 2) \) geht und den Tiefpunkt \( B(1 \mid 0) \) hat,
b) einer ungeraden ganzrationalen Funktion vom Grad 3 mit Terrassenpunkt in \( (0 \mid 0) \).
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Für jedes \( t \in \mathbb{R} \) ist eine Funktion \( f_{t} \) gegeben durch \( f_{t}(x)=\frac{t x^{3}}{2\left(x^{2}-4\right)} \).
a) Erstellen Sie für verschiedene Werte vont mit \( t>0 \) jeweils den Graphen der Funk-
Problem/Ansatz:
f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
f‘(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d
weil Gf gerade ist, fallen b und d raus/werden null
f(x) = ax^4 + cx^2 + e
f‘(x) = 4ax^3 + 2cx
Ab hier komme ich irgendwie nicht mehr weiter :( Danke schon mal im Voraus !
