Kern und Bild einer Abbildung mit Intergral

Question

Aufgabe:

Ich habe folgende Abbildung: $$T:L^2(0,1)\rightarrow L^2(0,1)$$     $$(Tf)(x)=\int \limits_{0}^{1}e^x f(t) dt$$

davon soll ich ker(T) und Bild bestimmen

Problem/Ansatz:

da der Kern ja auf Null abbildet und e^x nicht Null sein kann muss ja der Rest Null sein, oder? Wie würde man das dann korrekt angeben? Das Bild wär der gesamte reelle Zahlenbereich, oder?

Answer 1

da der Kern ja auf Null abbildet und ex nicht Null sein kann muss ja der Rest Null sein, oder?

Du musst erst mal überlegen was Definitions- und Zielbereich der Abbildung sind.

Da steht ja \(T:L^2(0,1)\rightarrow L^2(0,1)\)

also ist beides   \(L^2(0,1) \). Das ist ja wohl eine

Menge  von Abbildungen von (0,1) nach(?)  ℝ.

Und das "hoch 2" an dem T bedeutet ?

Für den Kern musst du also überlegen , für welche f

das Bild \((Tf)(x)=\int \limits_{0}^{1}e^x f(t) dt\) die 0-Abbildung ist.

Nun ist ja \(\int \limits_{0}^{1}e^x f(t) dt = e^x \cdot \int \limits_{0}^{1} f(t) dt\).

Jetzt passt deine Idee, dass e^x nie 0 ist, also muss für alle x

das Integral 0 sein. Wenn die Funktionen f in \(L^2(0,1) \)

[Ich kenne diese Bezeichnung nicht.] z.B. alle eine Stammfunktion F

besitzen, dann heißt das ja nur F(1)=F(0).

Comments

Der Kern sind einfach alle f, deren Integral gleich 0 ist. Das wird man wohl nicht weiter erklären / bestimmen brauchen. Oder vielleicht wir im Kontext von L^2 erwartet, dass man den Kern als Orthogonalraum zur Funktion f(x)=1 charakterisiert?

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Was ist denn L² ? Kenne die Bezeichnung nicht.

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Das sind alle Funktionen, deren Quadrat f^2 Lebesgue-integrierbar ist.

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Danke, da hab ich was Neues gelernt.