da der Kern ja auf Null abbildet und ex nicht Null sein kann muss ja der Rest Null sein, oder?
Du musst erst mal überlegen was Definitions- und Zielbereich der Abbildung sind.
Da steht ja T : L2(0,1)→L2(0,1)
also ist beides L2(0,1). Das ist ja wohl eine
Menge von Abbildungen von (0,1) nach(?) ℝ.
Und das "hoch 2" an dem T bedeutet ?
Für den Kern musst du also überlegen , für welche f
das Bild (Tf)(x)=0∫1exf(t)dt die 0-Abbildung ist.
Nun ist ja 0∫1exf(t)dt=ex⋅0∫1f(t)dt.
Jetzt passt deine Idee, dass ex nie 0 ist, also muss für alle x
das Integral 0 sein. Wenn die Funktionen f in L2(0,1)
[Ich kenne diese Bezeichnung nicht.] z.B. alle eine Stammfunktion F
besitzen, dann heißt das ja nur F(1)=F(0).