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Aufgabe:

Ich habe folgende Abbildung: T : L2(0,1)L2(0,1)T:L^2(0,1)\rightarrow L^2(0,1)     (Tf)(x)=01exf(t)dt(Tf)(x)=\int \limits_{0}^{1}e^x f(t) dt

davon soll ich ker(T) und Bild bestimmen


Problem/Ansatz:

da der Kern ja auf Null abbildet und ex nicht Null sein kann muss ja der Rest Null sein, oder? Wie würde man das dann korrekt angeben? Das Bild wär der gesamte reelle Zahlenbereich, oder?

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da der Kern ja auf Null abbildet und ex nicht Null sein kann muss ja der Rest Null sein, oder?

Du musst erst mal überlegen was Definitions- und Zielbereich der Abbildung sind.

Da steht ja T : L2(0,1)L2(0,1)T:L^2(0,1)\rightarrow L^2(0,1)

also ist beides   L2(0,1)L^2(0,1) . Das ist ja wohl eine

Menge  von Abbildungen von (0,1) nach(?)  ℝ.

Und das "hoch 2" an dem T bedeutet ?

Für den Kern musst du also überlegen , für welche f

das Bild (Tf)(x)=01exf(t)dt(Tf)(x)=\int \limits_{0}^{1}e^x f(t) dt die 0-Abbildung ist.

Nun ist ja 01exf(t)dt=ex01f(t)dt\int \limits_{0}^{1}e^x f(t) dt = e^x \cdot \int \limits_{0}^{1} f(t) dt.

Jetzt passt deine Idee, dass ex nie 0 ist, also muss für alle x

das Integral 0 sein. Wenn die Funktionen f in L2(0,1)L^2(0,1)

[Ich kenne diese Bezeichnung nicht.] z.B. alle eine Stammfunktion F

besitzen, dann heißt das ja nur F(1)=F(0).

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Der Kern sind einfach alle f, deren Integral gleich 0 ist. Das wird man wohl nicht weiter erklären / bestimmen brauchen. Oder vielleicht wir im Kontext von L2 erwartet, dass man den Kern als Orthogonalraum zur Funktion f(x)=1 charakterisiert?

Was ist denn L2 ? Kenne die Bezeichnung nicht.

Das sind alle Funktionen, deren Quadrat f2 Lebesgue-integrierbar ist.

Danke, da hab ich was Neues gelernt.

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