Wie bestimme ich die Häufungspunkte einer Folge mit trigonometrischen Anteil?

Question

Hallo,

Ich muss von dieser Folge die Häufungspunkte bestimmen.

\( \frac{n^2}{2+3n^2} \) * cos(\( \frac{n\pi}{3} \)) + \( (-1)^{n} \) * \( \sqrt[n]{5^{n}+2^{n}} \)

Ich hab ein bisschen gerechnet und kam auf folgende Häufungspunkte :

x_6k = 16/3

x_3+6x = -16/3

Aber falls der Kosinus null wird, erhalte ich nur als Teilfolge x_3/2 + 3k und das kann ich nicht auswerten.

Wie fortfahren?

Danke !

Answer 1

Es gibt 5 Häufungspunkte. Untersuche die 6 Teilfolgen für n=6k, n=6k+1, ... bis n=6k-5. Nur zwei dieser 6 Teilfolgen haben den gleichen Häufungspunkt.

Comments

Warum reicht die Betrachtung der Gleichungen cos(n*pi/3) = 0 ; -1 ; 1 nicht aus, um alle HP zu ermitteln?

---

Schon mal , weil deine drei Kosinuswerte alle falsch sind.

cos 0 = 1

cos π/3 = -0,5

cos 2π/3 = -0,5

---

Das meinte ich nicht. Die Formulierung war wohl ein bisschen unglücklich. Ich meinte warum ist es nicht möglich:

cos(pi/3*n) = 0

cos(pi/3 *n) = 1

cos(pi/3 *n) = -1

Zu lösen und das als Teilfolgen zu betrachten.

---

Gegenfrage: Warum sollte das gleich 0 oider gleich 1 oder gleich -1 gesetzt werden???

Die Werte 0 und -1 werden für kein n angenommen.

---

Das verstehe ich nicht. Wenn ich

cos(pi*n/3) = 1 betrachte erhalte ich n =6k.

Was ist daran falsch ?

Zu meiner Idee : Ich wollte versuchen eine Teilfolgen zu erschaffen, die mir hilft den Kosinus in der Folge zu vereinfachen.

---

cos(pi*n/3) = 1 betrachte erhalte ich n =6k.

Das ist auch das Einzige, was zutrifft.

Die Fälle ...=0 und ... =-1 sind durch nichts begründet.

Die ganze Aufgabe wurde heute schon besprochen:

https://www.mathelounge.de/993503/haufungspunkte-der-folge-bestimmen#a993505

---

Ich werde es mir mal anschauen. Nur aus Neugier:

Wie genau hast du den Ausdruck cos(pi/3*n) interpretiert?

Als pi/(3n) oder (p*n)/(3)?

Für letzteres erhalte ich nämlich auch eine Lösung x = 3+6k.