Bestimmen Sie die Exponentialfunktion, Diagonalmatrix

Question

Text erkannt:

Bestimmen Sie die Exponentialfunktion \( \exp (t A) \) für \( A=\left(\begin{array}{ll}-13 & 10 \\ -15 & 12\end{array}\right) \).
Gehen Sie dazu wie folgt vor: Bestimmen Sie eine Diagonalmatix \( D=\left(\begin{array}{cc}\lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2}\end{array}\right) \), und eine Matrix \( T \), so dass \( T^{-1} A T=D \).
Setzen Sie für die Exponentialfunktion von \( D \) eben \( e^{t D}:=\left(\begin{array}{cc}e^{\lambda_{1} t} & 0 \\ 0 & e^{\lambda_{2} t}\end{array}\right) \) und definieren dann \( e^{t A}:=T e^{t D} T^{-1} \) um die Exponentialfunktion von \( A \) zu bestimmen.
Sie können dabei Ergebnisse von Blatt 12 weiter benutzen.

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Bitte brauche dringende Hilfe. Wäre sehr dankbar

Comments

... war fehlerhaft.

Gelöscht.

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Vielen vielen Dank erstmals, wie gehe ich mit den letzten beiden Teilaufgaben vorran, dass mit dem e^tD usw. Aber ehrlich vielen Dank für die Hilfe

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Ich weiß nicht, was bei dir auf Blatt 12 steht.

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Ich kann nicht erkennen, wo in dem Ansatz oben die Inverse von T auftaucht?

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Text erkannt:

Sei \( \mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}\right) \) die Standardbasis von \( \mathbb{R}^{2} \). Sei \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( { }_{\mathcal{B}} F^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ll} -13 & 10 \\ -15 & 12 \end{array}\right)=: A . \)
Bestimmen Sie die Eigenwerte von \( A \) sowie je einen entsprechenden Eigenvektor. Bilden Sie aus diesen Eigenvektoren eine Basis \( \mathcal{C} \) und bestimmen Sie dann \( { }_{c} F^{\mathcal{C}} \).
Eine weitere Aufgabe zum rechnen mit Komplexen Zahlen für diese Woche finden Sie in iMathAS.

Answer 1

Das charakteristische Polynom von A ist

\(X^2+X-6=(X+3)(X-2)\).

Die beiden Eigenwerte sind daher \(\lambda_1=-3\) und \(\lambda_2=2\).

Bestimme nun zugehörige Eigenvektoren, so dass du eine

Basis aus Eigenvektoren erhältst. Die Spalten von T sind dann

die gefundenen Eigenvektoren ...

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Vielen Dank :)