Lineare Abbildungen erkennen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

ich weiß, dass der Nullvektor immer auf sich selbst abbildet. Das würde a) schonmal ausschließen. Wie erkenne ich es jedoch beim Rest?

Comments

Mit dem gleichen Argument kann man auch (c) ausschließen.

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Stimmt! Dann bleibt nur mehr b und d als richtige Antworten übrig. Aber mit welcher Methode kann ich schauen, ob d) wirklich linear ist, falls man es nicht durch das Auschlussverfahren herausfinden kann?

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Ob die anderen beiden Abbildungen tatsächlich linear sind oder nicht kann so nicht entschieden werden. Das verlangt die Aufgabe auch nicht. Bei (b) und (d) genügt es, jeweils eine mögliche lineare Abbildung mit den genannten Eigenschaften anzugeben.
Bei (b) vielleicht die Matrix \(\small\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\).

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Okay danke! Ich glaub ich habe verstanden

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Mit dem gleichen Argument kann man auch (c) ausschließen.

Wenn man (c) aussschließen kann, warum sollte dann (d) eine lineare Abbildung sein?

Ist es nicht vielmehr so, dass (c) und (d) völlig gleichwertig sind, bei denen eine Dimension (die zweite) auf die andere Dimension (die erste) abgebildet wird?

\(y=x_2=0\) wird in jedem Fall auf \(x_1=0\) abgebildet.

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Wie ist denn die Addition von zwei Elementen aus der Urmenge von (c) und (d) definiert? Bei (d) ist das Resultat kein Element dieser Urmenge mehr (wg. \(x_1=3\)) bei (c) schon!

Also kann man doch eher (d) auschließen und (c) wiederum ist eine lineare Abbildung.

Zitat:

Bei einer linearen Abbildung ist es unerheblich, ob man zwei Vektoren zuerst addiert und dann deren Summe abbildet oder zuerst die Vektoren abbildet und dann die Summe der Bilder bildet

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... und (c) wiederum ist eine lineare Abbildung.

g(0,0) = (0,2). Wie soll das linear sein?

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g(0,0) = (0,2). Wie soll das linear sein?

ich habe nicht behauptet, dass (c) linear ist. Ich habe nur gefragt wie (d) linear sein kann, wenn (c) es nicht ist!

Wenn man fordert, dass \(f(ax)= af(x) \) mit \(a \in \mathbb{R}\)  sein soll, so trifft das weder für (c) noch für (d) zu. Wenn ich davon ausgehen, dass mit der Variablen \(x\) auch das Element aus \(\mathbb{R}^2\) gemeint ist - und das scheint ja auf Grund der einleitenden Worte der Fall zu sein.

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Du weißt doch gar nicht, was bei d) f(6,y) ist.

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Du weißt doch gar nicht, was bei d) f(6,y) ist.

Und durch diese Antwort auch nicht. Hochproduktiver Beitrag.

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(d) \(\small\begin{pmatrix}0&1\\-\frac23&0\end{pmatrix}{\cdot}\begin{pmatrix}3\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y\\-2\end{pmatrix}\) oder nicht?

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Du weißt doch gar nicht, was bei d) f(6,y) ist.

Ja genau - das ist mir inzwischen auch gekommen! Die besten Hinweise kommen wieder von hj ;-)

D.h. die Vorgabe \(f(3,y) = (y,-2)\) heißt eben genau nicht, dass \(f(0,0)\) nicht \(=(0,0)\) sein kann. Das hatte ich anfänglich missinterpretiert! Ich denke jetzt habe ich es auch verstanden - die Kandidaten für die lineare Abbildung sind (b) und (d)

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Die besten Hinweise kommen wieder von hj ;-)

Da sind viele anderer Meinung, v.a. über deren Art.

Und: Was nützen Hinweise, die nicht verstanden werden oder nur Polemik und Häme enthalten?

Der Beliebtsheitgrad von Herrn hj bewegt sich in sehr engen Grenzen.

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Die besten Hinweise kommen wieder von hj ;-)

Da sind viele anderer Meinung, v.a. über deren Art.

Ja - Gast2016 ist auch dieser Meinung. Da seid Ihr ja schon zu zweit.