Welchen Radius hat der Inkreis des Dreiecks EBD?

Question

Die Dreiecke ABE, BCD und EBD füllen das Quadrat ACDE vollständig und überschneidungsfrei aus. Die Inkreise von ABE und BCD sind jeweils der Einheitskreis. Welchen Radius hat der Inkreis des Dreiecks EBD?

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Die Inkreise von ABE und BCD sind jeweils der Einheitskreis.

Das Dreieck BCD halbiert das Rechteck ABCD. Es ist schwer vorstellbar, dass ein zweites (kleineres) Rechteck ABE einen gleich großen Inkreis besitzt, wo es doch mit BCD eine Seite und einen Winkel gemeinsam hat!?

Dabei spielt es keine Rolle ob der Punkt E auf AD oder BD liegt.

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Wieso ist ABCD ein Rechteck ?

Ich vermute, dass Roland "Quadrat ACDE" meinte, dann wird r etwas Hübsches.

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@Werner: @hj2166: Mein Rechteck hieß von Anfang an ACDE und war nicht notwendiger Weise ein Quadrat - muss es aber doch sein. Danke, dass ihr euch bemüht.

Answer 1

Ich habe 2 Zeichnungen erstellt, nach der auch die Lösung erreicht werden kann:

Answer 2

Ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c und dem Inkreisradius r hat den Flächeninhalt 0,5*r*(a+b+c) = 0,5*r*u.

Sei a die Kantenlänge des Quadrates. Dann haben die beiden kongruenten Dreiecke jeweils den Umfang u=a*(1,5+0,5√5) und den Flächeninhalt 0,25a². Wegen r=1 gilt also 0,25a²=0,5a*(1,5+0,5√5) und somit a=3+√5.

Das große Dreieck hat den Umfang U=a(1+√5) und den Flächeninhalt 0,5a².

Für seinen Inkreisradius R gilt 0,5a²=0,5*R*a(1+√5). Somit gilt R=a/(1+√5) und wegen a=3+√5 also

R=(3+√5 )/(1+√5).

Wer mag, kann den Nenner noch rational machen.

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Wer den Nenner nicht rational macht, sieht den Witz der Aufgabe nicht.

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Du kannst das Ding ja gülden anmalen.