Matrixmultiplikation und GL (allg. lineare Gruppe)

Question

Hi ich hab folgendes “Problem“

Sei K ein Körper

Zeige:

a) Die Menge GL (n;K) := {A∈M (n×n;K) | A invertierbar} ist mit der M.multiplikation als Verknüpfung eine Gruppe mit neutralem Element I_n.

b) das die allg. lineare Gruppe GL (n;K) im Allgemeinen nicht kommutativ ist.

Dankeschön

Answer 1

a)   GL (n;K) ist mit der M.multiplikation als Verknüpfung abgeschlossen, da

das Produkt invertierbarer Matrizen auch invertierbar ist (z.B. wegen det≠0).

Assoziativ ist  die M.multiplikation immer.

Und das neutrale El. ist die Einheitsmatrix wegen I_n*M=M und M*I_n=M

Und zu jeder invertierbaren Matrix gibt es eine Inverse, das ist eben die,

die durch das Invertieren entsteht.

b) Probiere mal 1 1    und  1  1
                         0 1             1  0