Bestimmen Sie denjenigen Einheitsvektor

Question

Aufgabe:

Gegeben sei der Vektor v = (2, 4, 3) im R³
. Bestimmen Sie denjenigen Einheitsvektor
w aus der e2-e3-Ebene (kanonische Einheitsvektoren sollen hier angenommen werden),
fur den das kanonische Skalarprodukt ¨ ⟨w, v⟩ maximal wird! Welchen Winkel schließen
die beiden Vektoren ein? Fur welchen Vektor ¨ w in der e2-e3-Ebene ergibt sich der
maximale Winkel zwischen den beiden Vektoren?
Problem/Ansatz:

Also irgendwie bin ich gerade verwirrt.

Also muss ich das jetzt so verstehen, dass ein Vektor (0,a,b)^T finden wobei a²+b²=1 ist oder darf ich einfach einen beliebigen Vektor aus e2 und e3 nehmen

und zu dem Winkel müsste ich jetzt eine Projektion des Winkels v nehmen auf die e2 e3 Ebene und dann einen Winkel im 90° finden?

Ist das jetzt so richtig gedacht?

Answer 1

Du hast schon recht. Gesucht ist der Vektor [0, y, z] mit y^2 + z^2 = 1 → z = ±√(1 - y^2)

P = [2, 4, 3] * [0, y, √(1 - y^2)] = 4·y + 3·√(1 - y^2)

P' = 4 - 3·y/√(1 - y^2) = 0 --> y = 0.8

z = √(1 - 0.8^2) = 0.6

Der Vektor ist also der Vektor [0, 0.8, 0.6]. Es ist wohl kein Zufall das ein Vielfaches dieses Vektors der Vektor [0, 4, 3] ist. Denk mal darüber nach und skizziere es dir. Vermutlich kannst du jetzt auch schon vermuten, welcher Vektor den maximalen Winkel ergeben würde.

Comments

@Der Rechener

Denk mal darüber nach und skizziere es dir.

Oben siehst Du den Vektor \(v\) in grün und zwei Varianten für \(w\) in rosa und rot. Die Spitzen aller möglichen Vektoren \(w\) liegen auf dem kleinen Kreis mit Mittelpunkt im Urprung.

Die Projektion von \(v\) auf \(w\) - bzw. dessen Verlängerung - ist das Skalarprodukt. Das ist jeweils die rosane bzw. schwarze Strecke vom Ursprung bis zu dem größeren Kreis in der YZ-(\(e_2e_3\))Ebene.

Das größte Skalarprodukt erhält man genau dann, wenn man den Vektor \(v\) senkrecht auf die YZ-Ebene projiziert. Dies ist die schwarze Strecke in der YZ-Ebene. Der zugehörige (optimale) Vektor \(w\) zeigt somit in Richtung \((0|4|3)\).

Klicke auf das Bild oben, dann öffnet sich Geoknecht3D und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren. Dann bekommst Du einen besseren räumlichen Eindruck.

Fur welchen Vektor ¨ w in der e2-e3-Ebene ergibt sich der maximale Winkel zwischen den beiden Vektoren?

... und das sollte sich an Hand obiger Skizze dann sofort beantworten lassen ;-)

Answer 2

Also muss ich das jetzt so verstehen, dass ein Vektor (0,a,b) T finden wobei a 2+b 2=1 ist
Ja

oder darf ich einfach einen beliebigen Vektor aus e2 und e3 nehmen
In der Angabe steht Einheitsvektor, also muss a² + b² = 1 erfüllt sein.

und zu dem Winkel müsste ich jetzt eine Projektion des Winkels v nehmen auf die e2 e3 Ebene
Im Ergebnis wird der Vektor v auf die e₂-e₃-Ebene projiziert und normiert. Das müsste aber gezeigt werden.

und dann einen Winkel im 90° finden?
Warum? Bei 180° wäre der Winkel noch größer

Gesucht sind a und b, sodass 4a + 3b unter der Nebenbedingung a² + b² = 1 maximal bzw minimal werden. Dadurch wird Winkel minimal bzw maximal, da der in der Winkelformel vorkommende Arcuscosinus streng monoton fällt.