Matheaufgabe (quadratische Gleichung)

Question

Aufgabe:

Die Summe zweier Zahlen beträgt 40, die Summe der Quadrate dieser Zahlen 802.

Wie heißen die beiden Zahlen

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht, wie man das rechnet.

Answer 1

Wenn du davon ausgehst, dass natürliche Zahlen gesucht sind kannst du so argumentieren. Die Quadrate müssen die Endziffern 9 oder 1 haben, da nur Quadrate von Basen mit diesen Endziffern eine Summe haben, die auf 2 endet. Die Zehner müssen  den gleichen Abstand a von 20 haben, weil 20-a+20+a=40 ist Nach wenigen Versuchen bist du bei 19 und 21.

Answer 2

Hallo,

die gesuchten Zahlen a und b kann ich auch so schreiben:

a=20-x ; b=20+x

a²+b²=(20-x)²+(20+x)²=400-40x+x²+400+40x+x²=800+2x²

Mit a²+b²=802=800+2x² erhalte ich

x=±1

und schließlich

a=19 und b=21.

:-)

Answer 3

"Die Summe zweier Zahlen beträgt 40, die Summe der Quadrate dieser Zahlen 802."

Die Summe zweier Zahlen beträgt 40:

1.)x+y=40

Die Summe der Quadrate dieser Zahlen 802:

2.)x^2+y^2=802

Löse nun das Gleichungssystem.

Answer 4

Hallo,

stelle zwei Gleichungen auf

Summe zweier Zahlen beträgt 40                                          x+y = 40      umstellen x= 40-y unten einsetzen

Summe der Quadrate dieser zahlen 802                           x² +y²  =802    

                                                                                (40-y) ² +y²     =802     binomische Formeln anwenden

                                                                          1600 -80y +y² +y² =802        | -802

                                                                                2y² -80y +798 = 0     | :2,   pq formel anwenden

                                                                                  y² -40y +399  = 0

                                                                             y(1,2) = 20±\( \sqrt{20²-399} \)

                                                                              y(1,2) = 20 ± 1

                                                                              y(1) = 21      y(2) = 19

   Probe : 21 +19 = 40

               21² +19² =802    stimmt

Answer 5

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die beiden gesuchten Leute nennen wir \(x\) und \(y\). Wir wissen:$$\red{x+y=40}\quad;\quad \green{x^2+y^2=802}$$Mit Hilfe der ersten binomischen Formel finden wir:$$\red{40}^2=\red{(x+y)}^2=x^2+2xy+y^2=(\green{x^2+y^2})+2xy=\green{802}+2xy\quad\implies$$$$2xy=\red{40}^2-\green{802}=1600-802=798\quad\implies\quad\pink{xy=399}$$

Die pinke Gleichung ist nun ein Fall für die dritte binomische Formel, denn:$$\pink{xy=399}=400-1=20^2-1^2=(20-1)(20+1)=19\cdot21$$Die Summe der beiden Faktoren \(19\) und \(21\) ist gleich \(40\).

Damit haben wir die Zahlen \(19\) und \(21\) als Lösung ermittelt.