Wie kann ich so eine Differentialgleichung auf konstante Lösungen überprüfen?

Question

Aufgabe: Wie kann ich so eine Differentialgleichung auf konstante Lösungen überprüfen?

Text erkannt:

3. \( x y y^{\prime}=x^{2}+1 \)

Text erkannt:

3. \( x y y^{\prime}=x^{2}+1 \)

Problem/Ansatz:

Wir haben gelernt, dass y = c, F(c)=0 zur Überprüfung von konstanten Lösungen benutzen soll. Verstehe nicht so ganz, wie das bei der Funktion oben geht.

Answer 1

\(y=c\), \(y'=0\) auf der linken Seite einsetzen ergibt

        \(x\cdot c \cdot 0\)

\(y=c\), \(y'=0\) auf der rechten Seite einsetzen ergibt

        \(x^2+1\)

Gleichsetzen ergibt

        \(x\cdot c \cdot 0 = x^2 + 1\).

Diese Gleichung lösen.

Answer 2

Aloha :)

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung kannst du ja sofort hinschreiben:$$xyy'=x^2+1\implies yy'=x+\frac1x\implies\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+\ln|x|+\frac c2\implies$$$$|y|=\sqrt{x^2+2\ln|x|+c}$$Da die Integrationskonstante \(\frac c2\) bzw. die Zahl \(c\) nicht als Faktor auftritt, kriegst du die \(x\)-abhängigen Terme nicht stillgelegt. Das heißt, die Differenteialgleichung hat keine konstante Lösung.

Da siehst du aber auch direkt an der DGL selbst. Auf der linken Seite taucht \(y'\) als Faktor auf, was bei einer konstanten \(y\)-Funktion gleich Null ist.

Dann bleibt von der DGL \((0=x^2+1)\) übrig, was nicht für alle \(x\in\mathbb R,\mathbb C\) efüllbar ist.