Aus trigonometrischen Rechnungen auf den Satz von Morley schließen

Question

Aufgabe:

Gezeigt habe ich bereits mit Hilfe von Trigonometrie, dass die Winkel an A,B,C jeweils 20° betragen, dass in unserem Fall die Dreiecke CPQ und CPY kongruent sind und dass BZ und CY gleichlang sind.

Nun sollen wir anhand dessen den Satz von Morley folgern "Die drei Winkeldrittelnden eines beliebigen Dreiecks treffen sich in einem gleichseitigen Dreieck.

Problem/Ansatz:

Einen Beweis für den Satz von Morley im Internet zu finden ist nicht schwer, allerdings sind diese meist eine komplette Seite lang und es ist eine kleine Aufgabe, in der ich aufgrund der bereits errechneten Eigenschaften auf den Satz folgern soll und keinen einstiegen Beweis wiedergeben.

Hat vielleicht jemand eine Idee, wie ich anhand der gegebenen Eigenschaften auf den Satz von Morley schließen kann?

Comments

Was ist gegeben und wie wurde der Rest konstruiert?

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Sei ∆(R, P, Q) ein gleichseitiges Dreieck und drei Winkel α, β, γ ∈ (0, 180◦) fest vorgegeben. Wir konstruieren in dieser Aufgabe ein Dreieck ∆(A, B, C) mit den Innenwinkeln α, β, γ und folgern daraus den Satz von Morley. Zur Übersichtlichkeit setzen wir α′ := α/3, β′ := β/3 und γ′ := γ/3.

Wir ergänzen an die Kante RQ zu einem Dreieck ∆(R, A, Q) mit Innenwinkeln ∠R = β′ + 60◦ und ∠Q = γ′ +60◦, so dass die Punkte A und P zu verschiedenen Seiten von RQ liegen. Analog konstruieren wir Dreiecke ∆(R, B, P ) mit Innenwinkeln ∠R = α′ + 60◦ und ∠P = γ′ + 60◦, sowie ∆(P, C, Q) mit Innenwinkeln ∠P = β′ + 60◦ und ∠Q = α′ + 60◦.

Gezeigt habe ich bereits mit Hilfe von Trigonometrie, dass die Winkel an A,B,C jeweils 20° betragen, dass in unserem Fall die Dreiecke CPQ und CPY kongruent sind und dass BZ und CY gleichlang sind.

Answer 1

dass die Winkel an A,B,C jeweils 20° betragen

Das trifft nur für bestimme \(\alpha\), \(\beta\) und \(\gamma\) zu.

und drei Winkel α, β, γ ∈ (0, 180◦) fest vorgegeben.

Das sind nicht die Innenwinkel des Dreiecks \(\triangle(P,Q,R)\).

Nun sollen wir anhand dessen den Satz von Morley folgern

Die Winkel \(\angle(A,C,Q)\), \(\angle(Q,C,P)\) und \(\angle(P,C,B)\) sind gleich groß.

Der Winkel \(\gamma = \angle(A,C,B)\) wurde beliebig gewählt.