DGL Trennung der Variablen y' tan(x)= a+y

Question

Aufgabe:

 \( y^{\prime} \tan x=a+y, \quad y(\pi / 3)=a, \quad 0<x<\pi / 2 \)

Problem/Ansatz:

Wie kann ich hier die Differentialgleichung lösen? Ich bekomme sehr komplizierte Werte raus. Kann ich einfach mit a rechnen?

Answer 1

Hallo

Lösung via Trennung der Variablen:

Kann ich einfach mit a rechnen? Ja, so als wenn es eine z.B. eine Zahl wäre.(Konstante)

20:20 Uhr

Answer 2

Du kannst die Gleichung zunächst nochmals differenzieren:

$$y''\tan x + y'(1+\tan^2 x) = y'$$

$$ \Rightarrow y'' + y'\tan x = 0$$

Das ist schnell gelöst:

$$\frac {y''}{y'}=-\tan x\Rightarrow \boxed{y'=C\cos x}$$

Einsetzen in die Ausgangsgleichung und Auflösen nach y gibt:

$$y=C\cos x\tan x - a = C\sin x - a$$

Wegen \(y\left(\frac {\pi}2 \right)= a\) bekommen wir C durch

$$a= C\frac{\sqrt 3}2-a \Rightarrow \boxed{C = \frac {2a}{\sqrt 3}}$$

Alles zusammen:

$$\boxed{y= \frac {2a}{\sqrt 3}\sin x - a }$$