Ich mach mal eine Lösung ohne Kugelkoordinaten sondern mit der Integralversion des Prinzips von Cavalieri.
Beachte zunächst, dass folgende beiden Bedingungen erfüllt sein müssen:
\(x^2+y^2\leq 4-z^2\) und \(x^2+y^2 \leq z^2 \Rightarrow 0\leq z^2 \leq 4\)
D.h. außerdem, die Schnitte des Körpers mit Ebenen parallel zur \(xy\)-Ebene sind Kreise mit dem Radius \(\min (z^2,4-z^2)\). Damit ist das halbe Volumen des Körpers (also für \(z\geq 0\)):
\(\frac 12 V = \pi\int_0^{2}r^2(z) \;dz\) mit \(r^2(z) = \min (z^2,4-z^2)\)
Es ist \(4-z^2=z^2 \Leftrightarrow z^2 = 2\) Also
\(r^2(z) =z^2 \) für \(z\in [0,\sqrt 2]\) und \(r^2(z) =4-z^2 \) für \(z\in [\sqrt 2,2]\).
Alles zusammen:
\(\frac 12 V = \pi\int_0^{\sqrt 2}z^2 \;dz + \pi\int_{\sqrt 2}^{2}(4-z^2) \;dz \)
\(= \frac{2\sqrt 2}{3}\pi + \frac 23 (8-5\sqrt 2) \pi= \frac 83\pi(2-\sqrt 2)\)
Jetzt musst du das nur noch verdoppeln, wenn tatsächlich \(z\in[-2,2]\).
