Komplexe Zahlen berechnen und in Koordinaten angeben

Question

Aufgabe:

Berechnen sie die Komplexen Zahlen und geben sie das Ergebnis wahlweise in Polarkoordinaten oder kartesischen Koordinaten an.

(z₃)^93

z₃ := \( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2i}\)

Hinweis sie dürfen den Zusammenhang arctan(\( \sqrt{3} \) ) = \( - \frac{ π }{3} \)  benutzen

Problem/Ansatz:

Wie Berechnet man die Aufgabe und ist die karthesiche Koordianten form von 4i = (0, 4) , 4+2i = (4,2) etc.?

Comments

\(\displaystyle z_{3} =- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2i}\)

steht das \(i\) wirklich im Nenner? nach dem Erweitern des zweiten Bruches mit \(i\) stände dort dann$$z_{3} =- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}\,i}{2i^{2}} = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3}\,i$$

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Hab es so abgetippt wie es in der Aufgabe steht

z₃  := -1/2 + √3/2i

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Hab es so abgetippt wie es in der Aufgabe steht

z3  := -1/2 + √3/2i

nicht ganz. Operatoren mit gleicher Priorität wie "geteilt durch" und "multiplziert mit" werden von links nach rechts interpretiert$$√3/2i = \sqrt{3} \div 2 \cdot i = \left(\sqrt{3} \div 2\right) \cdot i = \frac{\sqrt{3}}{2}\, i$$\(i\) steht somit im Zähler.

Anderes Beispiel: \(10 - 5 +2 = (10 - 5) +2 =7 \ne 10 - (5+ 2)= 3\)

Answer 1

\( - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2i}= - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\)

Also z3 im 3. Quadranten. Und es ist |z₃| = 1 also \(  z_3=e^{i\cdot \frac{-\pi}{3}}  \)

Hoch 93 gibt also als0    \(  z_3=e^{30i\cdot \frac{-\pi}{3}} = e^{i\cdot  (-10\pi) } = 1 \)

Answer 2

\(z_3= -\frac{1}{2}-\frac{i \sqrt{3}}{2} =e^{-(2 i \pi) / 3} \)

 \(z_3^{93}=e^{-93\cdot(2 i \pi) / 3}=e^{-31\cdot(2 i \pi)} =1 \)