Ist die eine Einheitsmatrix diagonalisierbar?

Question

Ich hätte eine allgemeine Frage zur Diagonalisierbarkeit von Matrizen. Ist die eine Einheitsmatrix diagonalisierbar? Denn eigentlich handelt es sich bei ihr schon um eine Diagonalmatrix.

Der Ursprung meiner Frage kommt von dieser Aufgabe:

Gibt es eine Matrix A ∈ R^2×2 mit charakteristischem Polynom
χA = (X − 1)(X − 2),
die nicht diagonalisierbar ist.

Denn hätte man eine Matrix mit den Rang 2 wäre doch diese Matrix mit diesen charakteristischem Polynom nicht diagonalisierbar. Das Problem wäre natürlich auch das die Einheitsmatrix nur den Eigenwert 1 hat und nicht 2.

Comments

Du weißt aber schon, dass die Einheitsmatrix bereits Diagonalgestalt hat?

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Um die dahinterstehende Frage zu beantworten:

Es gibt keine Matrix A ∈ R2×2 mit charakteristischem Polynom
χA = (X − 1)(X − 2),
die nicht diagonalisierbar wäre.

Am Einfachsten nutzt man das Kriterium:

A ist diagonalisierbar, genau dann wenn das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt und die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert.

Hier hat jeder EW die algebraische Vielfachheit 1 und da die geometrische Vielfachheit nie größer sein kann aber mindestens 1 ist das Kriterium erfüllt.

Answer 1

Natürlich ist jede Diagonalmatrix \(D\)

diagonalisierbar; denn es ist \(S^{-1}DS=D\)

mit \(S=E_n\) eine Diagonalmatrix, nämlich \(D\).