Integrale berechnen Substitution

Question

Aufgabe:

Integrale berechnen

Problem/Ansatz:

obere grenze: 1

untere grenze: -1

(x2−10x+9) √x+1(Wurzel bezieht sich auf x und 1) dx

Wir hätten eine Frage zu der Aufgabe, wir sollen das Integral berechnen und nachdem wir Substitution angewendet haben, kommt der Integralrechner auf  √u (u2−12u+20)du und wir wissen nicht ganz genau wie er auf 12u und 20 kommt.

Answer 1

Hallo,

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Answer 2

Aloha :)

Ihr wollt / sollt / müsst folgendes Integral bestimmen:$$I=\int\limits_{-1}^1(x^2-10x+9)\sqrt{x+1}\,dx=\int\limits_{-1}^1(x-9)(x-1)\sqrt{x+1}\,dx$$Dabei stört das $(+1)$ unter der Wurzel. Daher substituiert einfach:$$u\coloneqq x+1\implies dx=du\;;\;x=u-1\;;\;u(-1)=0\;;\;u(1)=2$$und ihr erhaltet das Integral:$$I=\int\limits_0^2(u-10)(u-2)\sqrt u\,du=\int\limits_0^2(u^2-12u+20)\,u^{\frac12}\,du=\int\limits_0^2(u^{\frac52}-12u^{\frac32}+20u^{\frac12})\,du$$$$\phantom I=\left[\frac27u^{\frac72}-\frac{24}{5}u^{\frac52}+\frac{40}{3}u^{\frac32}\right]_0^2=\sqrt2\left(\frac27\cdot2^3-\frac{24}{5}\cdot2^2+\frac{40}{3}\cdot2\right)$$$$\phantom I=\sqrt2\left(\frac{16}{7}-\frac{96}{5}+\frac{80}{3}\right)=\sqrt2\cdot\frac{16\cdot15-96\cdot21+80\cdot35}{105}=\frac{1024}{105}\sqrt2\approx13,7919\ldots$$