Hier hilft das Wurzelkriterium schneller, mit dem du sogar absolute Konvergenz nachweist, womit dann die Kovergenz der alternierenden Reihe folgt.
Ich nehme mal die Version
$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(n+1)^{2023}}{4^{n-1}}$$
Betrachte nun
$$\sqrt[n]{|a_n|} = \frac{\left(\sqrt[n]{n+1}\right)^{2023}}{\sqrt[n]{4^{n-1}}}= \frac{1}{4}\sqrt[n] 4\cdot \left(\sqrt[n]n\cdot \sqrt[n]{1+\frac 1n}\right)^{2023}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac 14 \cdot 1\cdot \left(1\cdot 1\right)^{2023}=\frac 14< 1$$
Also ist die Reihe sogar absolut konvergent.