Aloha :)
Wir bestimmen den minimalen Abstand der beiden Geraden$$g\colon \red{\vec x_g(t)=\begin{pmatrix}8\\0\\6\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}}\quad;\quad h\colon\green{\vec x_h(t)=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}$$
Der Parameter Zeit \((t)\) ist in beiden Geradengleichungen derselbe. Daher können wir den Verbindungsvektor beider Flugzeuge zum Zeitpunkt \(t\) angeben:$$\vec d(t)=\green{\vec x_h(t)}-\red{\vec x_g(t)}=\left[\green{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}}\right]-\left[\red{\begin{pmatrix}8\\0\\6\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\3\\-1\end{pmatrix}}\right]$$$$\phantom{\vec d(t)}=\begin{pmatrix}\green1-\red8\\\green0-\red0\\\green2-\red6\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}\green1-\red{(-2)}\\\green4-\red3\\\green1-\red{(-1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\0\\-4\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3t-7\\t\\2t-4\end{pmatrix}$$
Die Länge dieses Verbindungsvektors beträgt:$$d(t)=\sqrt{(3t-7)^2+t^2+(2t-4)^2}=\sqrt{(9t^2-42t+49)+t^2+(4t^2-16t+16)}$$$$\phantom{d(t)}=\sqrt{14t^2-58t+65}$$
Der Wert der Wurzel wird minimal, wenn ihr Argument minimal wird, daher reicht es aus, das Minimum der Funktion unter der Wurzel zu bestimmen:$$f(t)=14t^2-58t+65\implies f'(t)=28t-58\implies f''(t)=28>0$$Da die 2-te Ableitung positiv ist, liefert die Nullstelle der 1-ten Ableitung das gesuchte Minimum bei:$$\pink{t_{\text{min}}=\frac{58}{28}=\frac{29}{14}}$$Der minimale Abstand beträgt zu diesem Zeitpunkt:$$\pink{d(t_{\text{min}})=\sqrt{\frac{69}{14}}\approx2,2200\ldots\,\mathrm{LE}}$$
