VR Der quadratischen Matrizen

Question

Aufgabe:

Sei V = MatR(n, n) der reelle Vektorraum der quadratischen Matrizen. Für festes B ∈ V sei die Abbildung T : V → V definiert durch T(A) := AB − BA.
a) Zeigen Sie, dass T linear ist.
b) Seien nun konkret n = 2 und B =

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right) \)

. Bestimmen Sie Kern T und Rang T.

Answer 1

a)

\(T(A_1+A_2)=(A_1+A_2)B-B(A_1+A_2)=A_1B+A_2B-BA_1-BA_2=...\)

Für einen Skalar \(c\) gilt:

\(T(cA)=(cA)B-B(cA)=c(AB)-c(BA)=c(AB-BA)=cT(A)\)

b)

Ich habe Kern(T)= \(\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\b&a\end{array}\right): \; a,b\in R\}\)