Sei MatR(n,n) der VR der quadratischen Matrizen

Question

Aufgabe:

Sei MatR(n, n) der reelle Vektorraum der quadratischen Matrizen. Sei weiter eine Abbildung D : MatR(n, n) → R mit der Eigenschaft
für alle A, B ∈ MatR(n, n) ist D(AB) = D(A) · D(B).
Zeigen Sie, dass dann gilt:
a) D(En) = 0 ⇒ D(A) = 0 für alle A ∈ MatR(n, n).
b) D(En) 6= 0 ⇒ D(En) = 1.
c) D(En) 6= 0 ⇒ D(A) 6= 0 für alle A ∈ GL(n, R

Answer 1

a) Sei \(D(E_n)=0\). Dann ist
\(D(A)=D(A\cdot E_n)=D(A)D(E_n)=D(A)\cdot 0\).

b) \(D(E_n)\neq 0\Rightarrow D(E_n)D(E_n)=D(E_nE_n)=D(E_n)\Rightarrow D(E_n)=1\)

Nun du mit c): Tipp \(A\in GL(n,R)\iff A\) invertierbar ...