Bestimmt ist zwei Approximation anhand einer Taylorentwicklung erster Ordnung

Question

Aufgabe

Bestimmen Sie zwei Approximationen von \( \sqrt{10200} \) anhand einer Taylorentwicklung erster Ordnung für die Funktion \( \sqrt{x} \), indem Sie dafür als Entwicklungsstellen die Werte \( 100^{2} \) und \( 101^{2} \) nutzen.

Problem/Ansatz:

Das Prinzip von Taylorform also von einer bestimmte Funktion "f(x)" ist mir klar und bekannt, aber die folgende Frage verstehe ich nicht, weil die Frage als Text gestellt ist, kann jemand bitte Hinweise geben ?

Answer 1

Aloha :)

Entwickle die Funktion \(\pink{f(x)=\sqrt{n^2+x}}\) um den Entwicklungspunkt \(x_0=0\):

$$f(x)\approx f(0)+f'(0)\cdot(x-0)=\sqrt{n^2}+\left(\frac{1}{2\sqrt{n^2+x}}\right)_{x=0}\cdot x=\pink{n+\frac{x}{2n}}$$

Damit erhalten wir die beiden Näherungswerte:$$n=100\colon\;\sqrt{10200}=\sqrt{100^2+200}\approx100+\frac{200}{2\cdot100}=101$$$$n=101\colon\;\sqrt{10200}=\sqrt{101^2-1}\approx101+\frac{-1}{2\cdot101}\approx100,9950$$

Tatsächlich ist \(\sqrt{10200}\approx100,9950\ldots\) Die zweite Näherung ist daher sehr gut.

Comments

Danke für deine Antwort, aber kommst du auf "\(\pink{f(x)=\sqrt{n^2+x}}\)" ?

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Das war ein versteckter Hinweis in der Aufgabenstellung. Da stand, dass \(x\) um \(100^2\) bzw. um \(101^2\) gewählt werden sollte. Daher dachte ich, ist \(n^2\) gar keine schlechte Wahl.