a)
Zu zeigen:
1)
$$\forall x\in \left[ -\frac { \Pi }{ 2 } ,\frac { \Pi }{ 2 } \right] :0\le 0,5cos(x)\le 1$$
2)
$$\int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ 0,5*cos(x)dx } =1$$
zu 1):
Zunächst:$$0\le 0,5cos(x)$$$$\Leftrightarrow 0\le cos(x)$$$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 2 } (4\pi n-\pi )\le x\le \frac { 1 }{ 2 } (4\pi n-\pi ),n\in Z$$ also insbesondere auch dann, wenn (n=0):$$\frac { -\pi }{ 2 } \le x \le \frac { \pi }{ 2 }$$Und nun noch:$$0,5cos(x)\le 1$$$$\Leftrightarrow cos(x)\le 2$$Das ist eine für alle x∈R wahre Aussage, also auch für \(x\in \left[ -\frac { \Pi }{ 2 } ,\frac { \Pi }{ 2 } \right]\)
zu 2):
$$\int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ 0,5*cos(x)dx }$$$$=0,5\int _{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }{ cos(x)dx }$$$$=0,5{ \left[ sin(x) \right] }_{ -\frac { \pi }{ 2 } }^{ \frac { \pi }{ 2 } }$$$$=0,5\left( sin(\frac { \pi }{ 2 } )-sin(-\frac { \pi }{ 2 } ) \right)$$$$=0,5(1-(-1))$$$$=1$$
b)
$$P(-\frac { \pi }{ 4 } \le x\le \frac { \pi }{ 4 } )$$$$=F(\frac { \pi }{ 4 } )-F(-\frac { \pi }{ 4 } )$$$$=0,5*sin(\frac { \pi }{ 4 } )-0,5*sin(-\frac { \pi }{ 4 } )$$$$=0,5(sin(\frac { \pi }{ 4 } )-sin(-\frac { \pi }{ 4 } ))$$$$=0,5(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } -(-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } } ))$$$$=0,5\frac { 2 }{ \sqrt { 2 } }$$$$=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 } }$$$$\approx 0,707$$
c)
$$P(-a\le x\le a)=0,5$$$$\Leftrightarrow F(a)-F(-a)=0,5$$$$\Leftrightarrow 0,5*sin(a)-0,5*sin(-a)=0,5$$$$\Leftrightarrow sin(a)-sin(-a)=1$$Es gilt: \(-sin(-a)=sin(a)\), also:$$\Leftrightarrow sin(a)+sin(a)=1$$$$\Leftrightarrow 2sin(a)=1$$$$\Leftrightarrow sin(a)=0,5$$$$\Leftrightarrow a=arcsin(0,5)$$$$\Leftrightarrow a=\frac { \Pi }{ 6 }$$
