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Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 0 für x <-π/2, f(x) = 0 für x>π/2 und mit f(x)=1/2cosx für -π/2 ≤ X ≤ π/2.
a) Zeigen Sie, dass f eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist
b) Bestimmen Sie P (-π/4 ≤ X ≤ π/4)
c) Bestimmen Sie a so, dass P(-a≤ X ≤ a) = 0,5.
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a) Da musst du eigentlich nur zeigen, dass f(x)≥0 im Intervall und dass das bestimmte Integral über das Intervall 1 gibt.

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a)

Zu zeigen:

1)

$$\forall x\in \left[ -\frac { \Pi  }{ 2 } ,\frac { \Pi  }{ 2 }  \right] :0\le 0,5cos(x)\le 1$$

2)

$$\int _{ -\frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ 0,5*cos(x)dx } =1$$

zu 1):

Zunächst:$$0\le 0,5cos(x)$$$$\Leftrightarrow 0\le cos(x)$$$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 2 } (4\pi n-\pi )\le x\le \frac { 1 }{ 2 } (4\pi n-\pi ),n\in Z$$ also insbesondere auch dann, wenn (n=0):$$\frac { -\pi  }{ 2 } \le x \le \frac { \pi  }{ 2 }$$Und nun noch:$$0,5cos(x)\le 1$$$$\Leftrightarrow cos(x)\le 2$$Das ist eine für alle x∈R wahre Aussage, also auch für \(x\in \left[ -\frac { \Pi  }{ 2 } ,\frac { \Pi  }{ 2 }  \right]\)

zu 2):

$$\int _{ -\frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ 0,5*cos(x)dx }$$$$=0,5\int _{ -\frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }{ cos(x)dx }$$$$=0,5{ \left[ sin(x) \right]  }_{ -\frac { \pi  }{ 2 }  }^{ \frac { \pi  }{ 2 }  }$$$$=0,5\left( sin(\frac { \pi  }{ 2 } )-sin(-\frac { \pi  }{ 2 } ) \right)$$$$=0,5(1-(-1))$$$$=1$$

b)

$$P(-\frac { \pi  }{ 4 } \le x\le \frac { \pi  }{ 4 } )$$$$=F(\frac { \pi  }{ 4 } )-F(-\frac { \pi  }{ 4 } )$$$$=0,5*sin(\frac { \pi  }{ 4 } )-0,5*sin(-\frac { \pi  }{ 4 } )$$$$=0,5(sin(\frac { \pi  }{ 4 } )-sin(-\frac { \pi  }{ 4 } ))$$$$=0,5(\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } -(-\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } ))$$$$=0,5\frac { 2 }{ \sqrt { 2 }  }$$$$=\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  }$$$$\approx 0,707$$

c)

$$P(-a\le x\le a)=0,5$$$$\Leftrightarrow F(a)-F(-a)=0,5$$$$\Leftrightarrow 0,5*sin(a)-0,5*sin(-a)=0,5$$$$\Leftrightarrow sin(a)-sin(-a)=1$$Es gilt: \(-sin(-a)=sin(a)\), also:$$\Leftrightarrow sin(a)+sin(a)=1$$$$\Leftrightarrow 2sin(a)=1$$$$\Leftrightarrow sin(a)=0,5$$$$\Leftrightarrow a=arcsin(0,5)$$$$\Leftrightarrow a=\frac { \Pi  }{ 6 }$$


 

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