Dreieck mit maximaler Fläche zwischen festem Punkt und 2 Schnittpunkten

Question

Die Gerade mit der Gleichung x=u,1<u<3, schneidet die Funktion
f1(x)= 2x²-7x+6 in B

und die
Funktion f2(x)= -2x²+9x-6 in C .

Berechne u so, dass das Dreieck ABC mit
A(1|1) maximalen Flächeninhalt hat.

 

Ich weiß, dass ich es über die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks (A=1/2*Grundseite*Höhe) errechnen muss und die Grunseite = u-1 ist und die Höhe die Differenz zwischen f1(u) und f2(u) ist, aber ich weiß nicht wie ich das mache, damit das alles ein Maximum ergibt. 

Wenn möglich bitte lösen Ansätze hatte ich schon ein paar hat aber nicht geholfen :/ danke!

Comments

Das sieht aus wie eine Extremwertaufgabe (Optimierung). Wenn ich mich recht erinnere, muss man den gesuchten Flächeninhalt in Abhängigkeit einer Variablen darstellen und dann in einem ersten Schritt die Ableitungen bilden.

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wie würde das in abhängigkeit zu einer variablen aussehen? in dem fall wäre das ja u

 

und mit den ableitungen prüfe ich dann an welcher stelle u ich einen maximalen flächeninhalt a habe?

 

ich verstehe das aber ich weiß nicht wie ich das umsetze..

Answer 1

Die rechte Grundseite des Dreiecks ist f₁(u)-f₂(u) und die Höhe des Dreiecks ist u-1, wie du schon gesagt hast.

 

Jetzt setzt man das alles in eine Formel für A(u) ein:

A(u) = 1/2*(f₂(u)-f₁(u))*(u-1) = 1/2*(-4u²+16u-12)*(u-1) = 2*(-u²+4u-3)*(u-1) = 2*(u-1)*(3-u)*(u-1) = -2*(u-3)*(u-1)²

Das leitet man nun nach der Produktregel ab und erhält:

A'(u) = -2*(u-1)² -4*(u-3)*(u-1)

Hier kann man einmal (u-1) ausklammern und erhält damit die (relativ offensichtliche) Lösung u=1: hier liegt natürlich ein Minimum des Flächeninhalts vor.

A'(u) = (u-1)*(-2*(u-1)-4*(u-3)) 

Für weitere Extremstellen ist also

0 = -2*(u-1)-4*(u-3)

zu fordern:

0 = -2u + 2 - 4u + 12

6u = 14

u = 14/6 = 7/3

 

Um zu überprüfen, ob es sich um ein Maximum handelt, reicht eine Plausibilitätsanalyse: wir wissen, dass A(u) wegen dem führenden Term -u³ für große u gegen Minus Unendlich geht. Wir wissen aber auch, dass A(u) bei u=1 ein Minimum hat, da dort gar kein Dreieck existiert. Also muss die Stelle u=7/3 ein Maximum sein.

 

Answer 2

Ich schliesse an eure Diskussion im Kommentar an.

F(u) sei die Fläche des Dreiecks für ein (beliebig) gewähltes u:

F(u) = 1/2 * (1-u)(2u^2 - 7u + 6 - (-2u^2 + 9u - 6))

= 1/2 (1-u) ( 4u^2 - 16u + 12)

=(1-u)(2u^2 - 8u + 6)

=    2u^2 - 8u + 6 - 2u^3 + 8u^2 - 6u

= -2u^3 + 10 u^2 - 14u + 6

F'(u) = -6u^2 + 20u - 14 = 0 ist quad. Gleichung

u1 = 1 →  lokales Minimum F(0) = 0

u2 = 7/3 → lokales Maximum F(7/3) = 64/27

Das gesuchte u ist somit 7/3 = 2.3333333…