Wie kommt man hier zu dieser inversen Funktion?

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Funktionen \( f, g \) und \( h \) mit ... und \( h(x)=\frac{1}{1+x} \). Ermitteln Sie die folgenden Funktionen:

(d) \( h^{-1}(x) \)

Lösungsskizze:

\(\displaystyle h^{-1}(x)=\frac{1-x}{x} \)

Problem/Ansatz:

Wie kommt man hier zu dieser inversen Funktion? Es betrifft Aufgabe d).

Answer 1

\( y=\frac{1}{1+x}|*(1+x) \) mit \(x≠-1\)

\( y*(1+x)=1 \)

\( y+y*x=1   |-y \)

\( y*x=1-y   |:y\)

\( x=\frac{1-y}{y}\)

Tauschen von x und y:→

Umkehrfunktion:

\( y=\frac{1-x}{x}\)  mit \(x≠0\)

Answer 2

a) Du musst beim x von h(x)  f(x) einsetzen.

Umkehrfkt: nach x auflösen und dann x und y vertauschen.

Die Angabe wurde plötzlich geändert.

y= 1/(1+x)

1/y = 1+x

x= 1/y-1 = (1-y)/y

vertauschen:

y= (1-x)/x = h^-1(x)

Comments

Die Angabe wurde plötzlich geändert.

Die Fragestellerin hat von Anfang an geschrieben:

Es betrifft Aufgabe d).

Sie stellte noch diversen anderen Text ein. Den habe ich entfernt. Damit nicht noch mehr Leute Aufgabe a) beantworten, nach der nicht gefragt war und die auch nicht zum Titel passte.

Answer 3

Hallo! Tausche in der Funktionsgleichung alle \(x\) durch \(h^{-1}(x)\) aus und stelle die neue Gleichung dann nach \(h^{-1}(x)\) um.