spezielle Lösung mit Differenzialgleichung

Question

Eine obstplantage mit 8000 bäumen wurde von Schädlingen befallen. Die momentrane Änderungsrate der Anzahl der befallen Bäume ist proportional zur Differenz zwischen der Gesamtanzahl der Bäume und der Anzahl der momentan befallenen Bäume b

Zu beginn waren 300 Bäume befallen. Nach einer Woche waren im 15% mehr Bäume befallen. Ermittle die spiezielle Lösung und berechne, nach welcher Zeit 90% aller Bäume befallen waren

Meine DGL lautet: b´(t) = k* (8000 - b(t))

dann hab ich normal integriert und umgeformt

dann komm ich irgendwann zu dem Wert: ln(8000-b(t)) = k*t + ln(7700)

Leider weiß ich danach nicht mehr weiter...

Answer 1

Hallo,

habs mal gerechnet :)

Es sind ≈ 386.324 Wochen

Comments

Vielen vielen Dank!!!

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was steht im letzten bild vor dem e ^? ist das ein k?

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\( e^{-k*t} \), ja ein k

Answer 2

ln(8000-b(t)) = k*t + ln(7700)

e hoch linke Seite = e hoch rechte Seite:

\(8000-b(t)=7700e^{kt}\).

Comments

wie kommst du azf 7700?

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Was ist denn bei dir \(e^{ln 7700}\) ?

Answer 3

Hallo

Deine  Dgl ist richtig, daraus schließe ich -ln(8000-b)=kt+c |*-1 dann hoch

8000-b(t)=C*e^-kt   wegen b(0)=300   hat man  kann man C bestimmen

jetzt t=1 Woche oder t=7 Tage einsetzen ( je nachdem ob du in Wochen oder Tagen rechnen willst ) dann ist b(t) dies 15% wobei nicht klar ist ob es jetzt 1,15*300  mehr sind also 645 oder 0,15*8000 also insgesamt 1200  daraus k

dann b(t)=0,1*8000 für den letzten Teil t bestimmen.

Comments

warum -ln(8000-b) am anfang?

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ich komme bei b(t) auf = -e^(k*t) * 7700 + 8000 (das ist auch richtig) aber wie komm ich jetzt auf k?

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Hallo

weil das die Stammfunktion von 1/(8000-b) ist

Wenn du ln(8000-b) nach b ableitest, merkst du deinen Fehler, (guter Rat: nach dem Integrieren wieder ableiten als Probe))

k aus dem Ergebnis nach 1 Woche, bzw 7 Tagen  also b(1W)  bzw b(7d) (aber das hatte ich schon gesagt) da ist b(t) bekannt, mir aber aus dem Text nicht ganz klar , ich tippe  auf die 15% von 8000, aber du hast den exakten Text vor dir.

lul