Zeigen Sie, dass die Menge versehen mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( n \in \mathbb{N} \) und \( \beta \) eine nicht-ausgeartete Bilinearform auf \( \mathbb{R}^{n, 1} \). Zeigen Sie, dass die Menge
\( O(\beta):=\left\{A \in \mathbb{R}^{n, n} \mid \forall u, v \in \mathbb{R}^{n, 1}: \beta(A u, A v)=\beta(u, v)\right\} \)
versehen mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist.

Problem/Ansatz:

Kann mir wer sagen wie ich es beweisen soll

Answer 1

Zu zeigende Gruppeneigenschaften:

Assoziativität

Existenz eines neutralen Elements

...

Kennst du, oder?

Comments

Es reicht aus zu zeigen, dass \(O(\beta)\) eine Untergruppe von \(GL(\mathbb R, n) \)  (invertierbare Matrizen) ist.
Also muss man nur mit dem Untergruppenkriterium arbeiten. Das geht glaub ich schneller.

Answer 2

Zeige, dass das Ding eine Untergruppe der invertierbaren Matrizen ist:

\(I \in O(\beta)\): \(I\) ist die Einheitsmatrix

\(\beta(Iu,Iv) =\beta(u,v)\)

\(A \in O(\beta) \Rightarrow A^{-1} \in O(\beta)\):

\(\beta(Au,Au) = \beta(u,u) = 0 \stackrel{\beta\: nicht ausgeartet}{\Longleftrightarrow} u = 0 \)

Somit ist \(A\) invertierbar. Es folgt

\(\beta(A^{-1}u,A^{-1}v) = \beta(AA^{-1}u,AA^{-1}v) =\beta(u,v) \)

\(A,B \in O(\beta) \Rightarrow AB \in O(\beta)\):

\(\beta(ABu,ABv) = \beta(Bu,Bv) =\beta(u,v) \)

Damit sind alle Untergruppenkriterien erfüllt. Also ist \(O(\beta)\) eine Gruppe.