Wie beweise ich hier, dass die Menge S bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe bildet?

Question

Für eine gegebene natürliche Zahl \( n>5 \) sei \( S \) die Menge aller \( n \times n \) Matrizen mit reellen Einträgen und Determinante 1.

Wie beweise ich hier, dass  die Menge \( S \) bezüglich der Matrixmultiplikation eine Gruppe bildet ?

Answer 1

Zeige die Gruppeneigenschaften

1.Abgeschlossenheit: Also begründe, dass zwei nxn Matrizen mit det=1

wieder eine nxn Matrix mit det=1 ergeben.

2. Assoziativität ( gilt allgemein bei Matrizenmultiplikation, habt

ihr vielleicht schon bewiesen.)

3. Existenz eines neutralen Elementes: Das ist die Einheitsmatix

und die ist Element der Gruppe, weil det=1

4. Zu jedem Element ein inverses. Das ist hier die inverse Matrix,

und wenn det(A)=1 dann ist auch det(A^(-1)) = 1.          Bingo!