Scnittpunkte trigonometrischer Funktionen berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f: y=\sqrt{2} \cdot \cos (2 x)-1 \) mit Definitionsbereich \( \mathbb{D}_{f}=\mathbb{R} \). \( \mathbb{G}_{h} \) ist der Graph der Funktion \( h: y=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot(2 \cdot \sin (x)-\sqrt{2}) \) mit Definitionsbereich \( \mathbb{D}_{h}=[-2 \pi, 2 \pi] \). Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \( \mathbb{G}_{f} \) und \( \mathbb{G}_{h} \).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich vorgehen soll um auf diese Lösungen zu kommen:

Answer 1

Löse einfach die Gleichung

 \( \sqrt{2} \cdot \cos (2 x)-1= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot(2 \cdot \sin (x)-\sqrt{2}) \) 

und komme dabei bitte nicht auf die grauenhaft gerundeten y-Werte deiner Abbildung.

Die rechte Seite lässt sich übrigens umschreiben zu

\( \sqrt{2} \cdot \sin(x)-1\)

Die zu lösende Gleichung ist also

\( \sqrt{2} \cdot \cos (2 x)-1= \sqrt{2} \cdot \sin(x)-1 \).

Die Kenntnis der Additionstheoreme (bzw. hier speziell der Doppelwinkelformel) kann man bei dir voraussetzen?

Comments

Danke für die Antwort. ja Additionstheoreme kenne ich und ich habe bei dieser Aufgabe gar nicht dran gedacht¨..! Danke! Hätten Sie mir vielleicht den Lösungsweg, wie sie die Gleichug vereinfacht haben?

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Ich habe einfach ausgenutzt, dass \( \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2 \) gilt.

Also ist \( \frac{2}{\sqrt{2} } =\sqrt{2} \).

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Okey Danke! Aber ich komme immernoch nicht ganz auf den kroekten Lösungsweg. ich kann die Gleichung nicht richtig lösen..

Answer 2

Nach Vereifachung ist die folgende Gleichung zu lösen: $$\cos 2x = \sin x$$

Nun gilt $$\cos 2x = \cos ^2 x - \sin^2 x = 1-2\sin^2 x$$

Wir erhalten somit die Gleichung:

$$1-2\sin^2 x = \sin x \Leftrightarrow \boxed{  2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 }$$

Der Übersichtlichkeit halber schreibe ich \(\boxed{s=\sin x}\).

Es ist also nur die folgende quadratische Gleichung zu lösen:$$s^2+s-1= (s+1)(2s-1)=0 \Rightarrow s= -1,\: s= \frac 12$$

Damit erhalten wir die Lösungen:

\(\sin x = -1 \Leftrightarrow \boxed{x= \frac 32 \pi + 2k\pi}\)

\(\sin x = \frac 12 \Leftrightarrow \boxed{x= \frac 16 \pi + 2k\pi}\) und \(\boxed{x= \frac 56 \pi + 2k\pi}\)

mit \(k\in \mathbb Z\).

Answer 3

a) x-Achse:

f(x) =0

√2*cos(2x)-1 = 0

cox(2x) = 1/√2 = √2/2 =1/2*√2

1/2*√2 ist ein bekannter Wert.

Der cos hat diesen Wert bei 45° und 360°-45° = 315° am Einheitskreis.

45°= pi/4 , 315°= 7/4*pi

Zu beachten ist die Periode des cos

y-Achse

Berechne f(0):

√2*cos0 -1 = √2-1 = 0,4142

b) h(x) = 0

1/√2*(2*sinx-√2) = 0

sinx = 1/2*√2

....

Comments

Der Fragesteller hat zu a) gar nichts gefragt, nur zu b).

Die Nullstellen von h waren wiederum kein Bestandteil der Aufgabe b).

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Ich weiß.

in memoriam bekannter sin- und cos-Werte