Nach Vereifachung ist die folgende Gleichung zu lösen: $$\cos 2x = \sin x$$
Nun gilt $$\cos 2x = \cos ^2 x - \sin^2 x = 1-2\sin^2 x$$
Wir erhalten somit die Gleichung:
$$1-2\sin^2 x = \sin x \Leftrightarrow \boxed{ 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 }$$
Der Übersichtlichkeit halber schreibe ich \(\boxed{s=\sin x}\).
Es ist also nur die folgende quadratische Gleichung zu lösen:$$s^2+s-1= (s+1)(2s-1)=0 \Rightarrow s= -1,\: s= \frac 12$$
Damit erhalten wir die Lösungen:
\(\sin x = -1 \Leftrightarrow \boxed{x= \frac 32 \pi + 2k\pi}\)
\(\sin x = \frac 12 \Leftrightarrow \boxed{x= \frac 16 \pi + 2k\pi}\) und \(\boxed{x= \frac 56 \pi + 2k\pi}\)
mit \(k\in \mathbb Z\).