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Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion \( f: y=\sqrt{2} \cdot \cos (2 x)-1 \) mit Definitionsbereich \( \mathbb{D}_{f}=\mathbb{R} \). \( \mathbb{G}_{h} \) ist der Graph der Funktion \( h: y=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot(2 \cdot \sin (x)-\sqrt{2}) \) mit Definitionsbereich \( \mathbb{D}_{h}=[-2 \pi, 2 \pi] \). Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \( \mathbb{G}_{f} \) und \( \mathbb{G}_{h} \).


Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie ich vorgehen soll um auf diese Lösungen zu kommen:

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3 Antworten

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Löse einfach die Gleichung

 \( \sqrt{2} \cdot \cos (2 x)-1= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot(2 \cdot \sin (x)-\sqrt{2}) \) 

und komme dabei bitte nicht auf die grauenhaft gerundeten y-Werte deiner Abbildung.

Die rechte Seite lässt sich übrigens umschreiben zu

\( \sqrt{2} \cdot \sin(x)-1\)


Die zu lösende Gleichung ist also

\( \sqrt{2} \cdot \cos (2 x)-1= \sqrt{2} \cdot \sin(x)-1 \).

Die Kenntnis der Additionstheoreme (bzw. hier speziell der Doppelwinkelformel) kann man bei dir voraussetzen?

Avatar von 55 k 🚀

Danke für die Antwort. ja Additionstheoreme kenne ich und ich habe bei dieser Aufgabe gar nicht dran gedacht¨..! Danke! Hätten Sie mir vielleicht den Lösungsweg, wie sie die Gleichug vereinfacht haben?

Ich habe einfach ausgenutzt, dass \( \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2 \) gilt.

Also ist \( \frac{2}{\sqrt{2} } =\sqrt{2} \).

Okey Danke! Aber ich komme immernoch nicht ganz auf den kroekten Lösungsweg. ich kann die Gleichung nicht richtig lösen..

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Nach Vereifachung ist die folgende Gleichung zu lösen: $$\cos 2x = \sin x$$

Nun gilt $$\cos 2x = \cos ^2 x - \sin^2 x = 1-2\sin^2 x$$

Wir erhalten somit die Gleichung:

$$1-2\sin^2 x = \sin x \Leftrightarrow \boxed{  2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 }$$

Der Übersichtlichkeit halber schreibe ich \(\boxed{s=\sin x}\).

Es ist also nur die folgende quadratische Gleichung zu lösen:$$s^2+s-1= (s+1)(2s-1)=0 \Rightarrow s= -1,\: s= \frac 12$$

Damit erhalten wir die Lösungen:

\(\sin x = -1 \Leftrightarrow \boxed{x= \frac 32 \pi + 2k\pi}\)

\(\sin x = \frac 12 \Leftrightarrow \boxed{x= \frac 16 \pi + 2k\pi}\) und \(\boxed{x= \frac 56 \pi + 2k\pi}\)

mit \(k\in \mathbb Z\).

Avatar von 11 k
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a) x-Achse:

f(x) =0

√2*cos(2x)-1 = 0

cox(2x) = 1/√2 = √2/2 =1/2*√2

1/2*√2 ist ein bekannter Wert.

Der cos hat diesen Wert bei 45° und 360°-45° = 315° am Einheitskreis.

45°= pi/4 , 315°= 7/4*pi

Zu beachten ist die Periode des cos

y-Achse

Berechne f(0):

√2*cos0 -1 = √2-1 = 0,4142

b) h(x) = 0

1/√2*(2*sinx-√2) = 0

sinx = 1/2*√2

....

Avatar von 39 k

Der Fragesteller hat zu a) gar nichts gefragt, nur zu b).

Die Nullstellen von h waren wiederum kein Bestandteil der Aufgabe b).

Ich weiß.

in memoriam bekannter sin- und cos-Werte

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