Darstellungsmatrix, Diagonalisierbarkeit, Eigenvektoren

Question

$$ A:= \left( \begin{array}{rrr} -2 & -2 & 2 \\ -1 & -3 & 2 \\ -2 & -4 & 3 \\\end{array} \right ) \text{ und } f: V_3(\mathbb{R}) \rightarrow V_3(\mathbb{R}), v \rightarrow Av.$$

$$ \text{ a) Zeigen Sie, dass f diagonalisierbar ist, indem Sie eine Basis } \underline{B} \text{ von } V_3(\mathbb{R}) \text{ aus Eigenvektoren von f bestimmen.} $$$$ \text{ b) Geben Sie außerdem die Darstellungsmatrix } Mat^{\underline{B}}_{\underline{B}}(f) \text{ an.}$$
Die Eigenvektoren habe ich berechnet und auch eine Basis mit ihnen aufgestellt? Aber wie berechne ich jetzt die Darstellungsmatrix? Und was muss noch gezeigt werden, damit f diagonalisierbar ist?Vielen Dank für alle Tipps & Hilfestellungen :)

Answer 1

Du nimmst die Basis aus Eigenvektoren, sagen wir mal \(   v_1,v_2,v_3 \)

Deren Bilder sind dann bei Eigenwerten k1,k2,k3 die

Vektoren \( k_1 \cdot v_1, k_2 \cdot v_2, k_3 \cdot v_3 \), also hat die Matrix in

der Hauptdiagonalen die k's und ansonsten nur 0en.

Es ist eine Diagonalmatrix, also ist f diagonalisierbar.

Comments

Danke für die schnelle Antwort! Kann man deshalb immer direkt wenn man die Eigenvektoren hat die Darstellungsmatrix angeben, weil man das ja nur noch aufschreiben muss? :)

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Wenn man eine Basis aus Eigenvektoren bestimmen

kann, dann ist die Matrix immer eine Diagonalmatrix.