Bestimmen Sie den Konvergenzradius von Σ_{n=0}^{∞}{n} x^n /n^n

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius von \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{x^n /n^n} \)

Problem/Ansatz

ich komme am Ende immer auf unendl. , kann man vlt hier dazu sagen ?

Danke im Voraus

Comments

Das sagt wolfram dazu:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%28x%2Fn%29%5En+from+0+to+infinit

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Der Konvergenzradius ist \( R = +\infty \) wie du selber scheinbar richtig berechnet hast. Die Reihe konvergiert also absolut für alle \( x\in\mathbb{R} \)

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Aber wissen, dass Konvergenzradius als ein Zahl ausgerechnet werden soll oder ?

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Die Frage verstehe ich nicht.

Man sagt, dass der Konvergenzradius \( R = \infty \) ist, wenn die Potenzreihe für alle \(x\in\mathbb{R} \) konvergiert.

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@ggt:

Das sagt wolfram dazu:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%28x%2Fn%29%5En+from+0+to+i…

Und welche konkrete Antwort würdest du, nachdem du selbst die Wolfram-Seite in dieser Angelegenheit besucht hast, dem Fragesteller geben?

Answer 1

Das sagt wolfram dazu:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%28x%2Fn%29%5En+from+0+to+i…

Das freut uns natürlich, dass wolfram auch was dazu sagt ...

Es ist$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}=(\frac{n+1}{n})^n\cdot(n+1)=\\=(1+\frac{1}{n})^n\cdot (n+1)$$ Nach der Bernoullischen Ungleichung ist dies \(\geq 2 \cdot (n+1) \rightarrow \infty  \)