Die uneigentlichen Integrale bestimmen

Question

Hallo an alle!

Ich habe hier einige Aufgaben zum uneigentlichen Integral gelöst. Könnte jemand mal einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob meine Berechnungen korrekt sind? Und auch die Schreibweise mit dem Limes? Passt das so?

Und was kommt als Ergebnis raus, wenn das ganze divergiert? Kann ich einfach hinschreiben, dass das Integral divergiert oder muss man irgendwie den Grenzwert berechnen??

Außerdem habe ich bei a) den Limes nicht hingeschrieben, aber muss ich den hier auch noch dazu schreiben?

Aufgabe:

\( \begin{array}{l}\text { e) } \int \limits_{0}^{\pi / 2} \tan (x) d x=\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \int \limits_{a}^{\pi / 2} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x \\ \mu=\cos (x) \\ \frac{d u}{d x}=-\sin (x) \\ d u=-\sin (x) d x \\ d x=-\frac{1}{\sin (x)} d u \\ \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \int \limits_{a}^{\pi / 2} \frac{\sin (x)}{\mu} \cdot\left(-\frac{1}{\sin (x)}\right) d u= \\ \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \int \limits_{a}-\frac{1}{u}=\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}[-\ln |u|]\end{array} \)

\( \begin{array}{l}\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}[-\ln |\cos (x)|]_{0}^{\pi / 2}= \\ =\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}\left[-\ln \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) \mid}{=0}+\ln \frac{|\cos (0)|}{=1}\right]=? \\ \Rightarrow \text { divergent }\end{array} \)

\( \begin{array}{l}\text { a) } \int \limits_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2}-1} d x=\int \limits_{0}^{1} \frac{2 x}{u} \cdot \frac{1}{2 x} d u \\ u=x^{2}-1 \\ \frac{d u}{d x}-2 x \\ d u=2 x \cdot d x \\ d x=\frac{1}{2 x} d u \\ \int \limits_{0}^{1} \frac{1}{\mu} d u=[\ln (u)]_{0}^{1}=\left[\ln \left(x^{2}-1\right)\right]_{0}^{1}= \\ =\ln (1-1)-\ln (0-1)= ? \\ \Rightarrow \operatorname{divergent}\end{array} \)

f) \( \begin{aligned} & \int \limits_{0}^{1} \frac{1-x^{2}}{x^{2}} d x=\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \int \limits_{a}^{1} \frac{1-x^{2}}{x^{2}} d x \\ = & \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \int \limits_{a}\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right) d x= \\ = & \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}\left[-\frac{1}{x}-x\right]_{0}^{1}= \\ = & \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}\left[(-1-1)-\left(-\frac{1}{a}-a\right)\right]=? \\ \Rightarrow & \text { divergent }\end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Comments

Bei a ist die Substitution falsch. Am Ende ist ln(x^2-1) nicht definiert, weil das Argument des sin negativ ist.

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Wie meinst du‘s? Ich hab ja richtig substituiert oder? Das kann ich noch nicht nachvollziehen

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Zur Kontrolle:

https://www.integralrechner.de/

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Du schreibst doch am Ende ln(0-1). Das ist nicht definiert.

(Mein Kommentar enthält einen Druckfehler, statt sin hätte es ln heißen sollen)

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Achso, ich dachte mir schon..

Ich hab die a) erneut gerechnet, unter lul's Beitrag. Passt die Rechnung so?

Answer 1

Bei e) hätte ich eher so gedacht:

Die untere Grenze 0 ist kein Problem, wohl aber pi/2,

da dort der tan nicht definiert ist. also statt

\( \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}[-\ln |\cos (x)|]_{a}^{\pi / 2} \)

besser untersucht, ob folgender Grenzwert existiert:

\( \lim \limits_{a \rightarrow (\pi/2)^{-}}[-\ln |\cos (x)|]_{0}^{a} \)

und das tut er in der Tat nicht.

Comments

Alles klar, also immer die Grenze als lim (a—>…) angeben, die nicht existiert bzw. nicht definiert ist, oder?

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Genau so ist es richtig.

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Alles klar, vielen Dank!

Und unter lul's Beitrag habe ich die a) erneut gerechnet, passt die Berechnung so?

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Hätte es eher so beendet:

\( =\lim\limits_{ b \rightarrow 1^{-}} \left[\ln \left|b^{2}-1\right|-\ln |0-1|\right] \\  \)

\( =\lim\limits_{ b \rightarrow 1^{-}} \ln |b^{2}-1| \)

Hat den Grenzwert -∞, da ln(x) für x gegen 0 gegen -∞ geht.

Also divergiert das Integral.

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Vielen Dank :)

Also so? Habe ich das ganze korrekt aufgeschrieben?

\( \begin{array}{l}\lim \limits_{b \rightarrow 1^{-}}\left[\ln \left|b^{2}-1\right|-\ln \left|0^{2}-1\right|\right]= \\ \lim \limits_{b \rightarrow 1^{-}}[\ln |0|-\ln |-1|]= \\ \lim \limits_{b \rightarrow 1^{-}}[\ln |\ 1-1|-0]= \\ \lim \limits_{b \rightarrow 1^{-}}[\ln |0|]=\infty \Rightarrow \text { divergent }\end{array} \)

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ln(0) gibt es nicht, du kannst allenfalls schreiben

\( \lim \limits_{b \rightarrow 1^{-}}\left[\ln \left|b^{2}-1\right|-\ln \left|0^{2}-1\right|\right]\)

\(= \lim \limits_{b \rightarrow 1^{-}}\left[\ln \left|b^{2}-1\right|\right]\)

\(= \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \ln(x) = -\infty\)

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Alles klar, vielen vielen Dank!!

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Mathef, die e) habe ich ja noch nicht ganz richtig berechnet. So müsste sie aussehen, oder?

\( \begin{array}{l}\text { e) } \int \limits_{0}^{\pi / 2} \tan (x) d x=\lim \limits_{b \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \int \limits_{0}^{b} \tan (x) d x= \\ \lim \limits_{b \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \int \limits_{0}^{b} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} d x= \\ u=\cos (x) \Rightarrow b \rightarrow \mu_{2}=\cos (b)=0 \\ \frac{d u}{d x}=-\sin (x) 0 \rightarrow \mu_{1}=\cos (0)-1 \\ d u=-\sin (x) \cdot d x \\ d x=-\frac{1}{\sin (x)} d u \\ \lim \limits_{b \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \int \limits_{0}^{b} \frac{\sin (x)}{u} \cdot\left(-\frac{1}{\sin (x)}\right) d u= \\ \lim \limits_{b \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}[-\ln |u|] \cos ^{\cos (b)}= \\ \lim \limits_{b \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}[-\ln |\cos (b)|+\ln |1|]= \\ \Rightarrow \lim \limits_{b \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}+[-\ln |0|+\ln |1|]=+\infty\end{array} \)

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letzte Zeile:   ln(0)    würde ich nicht schreiben;

denn das gibt es nicht.

Besser :  \( \lim \limits_{b \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}[-\ln |\cos (b)|+\ln |1|]= \lim \limits_{b \rightarrow \frac{\pi}{2}^{+}}[-\ln |\cos (b)|]= \lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}}-\ln x=+\infty \)

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Stimmt, dankeschön! Sowas hatten wir schon mal

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Mathef, kannst du noch ein letztes mal einen Blick auf f) werfen? Habe ich alles richtig aufgeschrieben/ gerechnet? Habe ich die korrekte mathematische Schreibweise gewählt?

Also hier noch mal die f) genauer:

\( \begin{array}{l}\text { f) } \int \limits_{0}^{1} \frac{1-x^{2}}{x^{2}} d x=\int \limits_{0}^{1}\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right) d x-x^{x^{-2+1}=-\frac{1}{x}} \\ \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}} \int \limits_{a}^{1}\left(\frac{1}{x^{2}}-1\right) d x=\lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}\left[-\frac{1}{x}-x\right]_{a}^{1}= \\ \lim \limits_{a \rightarrow 0^{+}}\left[-1-1+\frac{1}{a}+a\right]=-2+\infty=\infty \Rightarrow divergent\\ \end{array} \)

Answer 2

Hallo

richtig ist, dass alle die Integrale nicht existieren  bzw divergiere

Schlecht ist deine Schreibweise, immer$$ \lim\limits_{a\to0+}$$

die Grenzen die man angibt sind die Nullstellen der Nenners bei tan(x) etwa a->π/2

bei x/(x^2-1) eben a->1

usw

der Rest ist gut.

lul

Comments

Achso, stimmt. Passt die a) jetzt?

Ich habe lim b—> 1- , da man sich ja von links annähert, also der linksseitige Grenzwert?

\( \begin{array}{l}\int \limits_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2}-1} d x=\lim \limits_{b \rightarrow 1^{-}} \int \limits_{0}^{b} \frac{2 x}{x^{2}-1} d x \\ u=x^{2}-1 \\ \frac{d u}{d x}=2 x \\ d u=2 x d x \\ d x=\frac{1}{2 x} d u \\ \lim \limits_{b \rightarrow 1^{-}} \int \limits_{0}^{b} \frac{2 x}{u} \cdot \frac{1}{2 x} d u= \\ \lim \limits_{b \rightarrow 1^{-}} \int \limits_{0}^{b} \frac{1}{\mu} d u=\lim \limits_{b \rightarrow 1^{-}}[\ln |u|]_{0}^{b}= \\ =\lim \left[\ln \left|x^{2}-1\right|\right]_{0}^{b}= \\ b \rightarrow 1^{-} \\ =\lim \left[\ln \left|b^{2}-1\right|-\ln |0-1|\right]= \\ b \rightarrow 1^{-} \\ \Rightarrow \text { nicht definiert } \\\end{array} \)

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Wenn man ein Integral über die Variable u aufschreiben, dann sollt man auch die Grenzen bezüglich u anschreiben, also u=-1 bis u= b^2-1. Aber es gibt Leute, die das nicht so eng sehen.