Welche Aussagen sind richtig? Prinzip der linearen Fortsetzung;

Question

Aufgabe:

Sei X ein unendlichdimensionaler Vektorraum über dem Körper Z3, und sei S ein Erzeugendensystem von X.

Sei weiters f : S→ (Z3)^3 eine Funktion.

(A) f lässt sich zu einer linearen Abbildung von X nach (Z3)^3 fortsetzen.
(B) Wenn g, h zwei lineare Fortsetzungen von f auf X sind, so gilt g = h.
(C) f hat höchstens endlich viele paarweise verschiedene Fortsetzungen zu einer linearen Abbildung von X nach (Z3)^3

Comments

Sei weiters f : → (Z3)³ eine Funktion.

Was sind Definitionsmenge und Wertebereich von f?

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f : S → (Z3)^3, hab ich vergessen

Answer 1

(A) Betrachte den Fall X = S.

(B) Sei \(x\in X\). Sei \(\left(a_{s}\right)_{s\in S}\in\left(\mathbb{Z}_{3}\right)^{S}\) mit \(x=\sum_{s\in S}a_{s}\cdot s\). Seinen \(g\), \(h\) lineare Fortsetzungen von \(f\) auf \(X\). Dann ist

        \(g(x) = \dots\)

und

      \(h(x) = \dots\)