Unter Verwendung möglichst vieler Vektoren aus U gebe man eine Basis von R3 an!

Question

Aufgabe:

Sei U ein Unterraum, der von {a₁, a₂, a₃} erzeugt wird. Gib eine Basis U an! Sind  a₁, a₂, a₃  linear unabhängig? Unter Verwendung möglichst vieler Vektoren aus U gebe man eine Basis von R³ an!

a) a₁=(3,2,1) , a₂=(1,-2,0) , a₃=(2,6,1)

b) a₁=(2,1,3) , a₂=(1,0,-2) , a₃=(3,2,8)

Ansatz:

Zuerst hab ich geschaut ob jeweils a) und b) linear unabhängig sind.

a) 3  2  1          1  0  1

  2 -2  6   ->    0 1 -1

  1  0  1          0  0  2

Es ist linear unabhängig und die Basis ist dann {(1,0,0), (0,1,0) , (1,-1,2)} ???

b)

2  1 3      1 0  2

1  0 2  -> 0 1 -1

3 -2 8      0 0  0

Es ist linear abhängig, gibt es dann überhaupt eine Basis?

Bin etwas überfordert mit der Basis bestimmen.

Comments

Ich sehe gerade, dass es bei b) gar nicht um eine Basis von U

sondern vom R^3 geht.

Da musst du zu

a1=(2,1,3) , a2=(1,0,-2)

noch einen dazu tun, der von diesen lin. unabh. ist,

z.B. (0,1,0)

Answer 1

A ist ok.

Bei b zeigt deine Umformung, dass dim(U)=2.

ALSO bilden 2 Lin. Unabhängige vektoren von U eine Basis.

Z.b. die ersten beiden Erzeugenden.