wie wurde phi in den jeweiligen aufgaben berechnet(polarkoordinaten, komplexe Zahlen)

Question

Aufgabe:

1)

Bestimmen Sie von der Gleichung \( z^{3}=-7 i \) alle Lösungen in den komplexen Zahlen.
Lösung.
Wir bestimmen zunächst die Polarkoordinatendarstellung von \( w:=-7 i \quad \Rightarrow \quad w=7 \mathrm{e}^{-i \frac{\pi}{2}} \).
Aus der Vorlesung folgt nun, dass die Gleichung \( z^{3}=w \) die (einzigen!) Lösungen
\( z_{k}=\sqrt[3]{7} \cdot \mathrm{e}^{i\left(\frac{-\frac{\pi}{2}+2 k \pi}{3}\right)}, \quad k=0,1,2 \)
besitzt, also
\( \begin{array}{l} z_{0}=\sqrt[3]{7} \cdot \mathrm{e}^{-i \frac{\pi}{6}}=\sqrt[3]{7}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right), \\ z_{1}=\sqrt[3]{7} \cdot \mathrm{e}^{i \frac{\pi}{2}}=i \cdot \sqrt[3]{7}, \\ z_{2}=\sqrt[3]{7} \cdot \mathrm{e}^{i \frac{7}{6} \pi}=\sqrt[3]{7}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right) . \end{array} \)

2)

Aufgabe 1. (Polynome, Einheitswurzeln)
Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:
\( z^{2}=\frac{1-i+(1+i) \sqrt{3}}{2-2 i} . \)
Vereinfachen Sie dafür zunächst den Ausdruck und schreiben Sie ihn anschließend in Polarkoordinaten.
Lösung.
Es gilt:
\( \begin{aligned} z^{2} & =\frac{1-i+(1+i) \sqrt{3}}{2-2 i} \\ & =\frac{1}{2} \cdot \frac{1-i+(1+i) \sqrt{3}}{1-i} \\ & =\frac{1}{2} \cdot\left(1+\sqrt{3} \cdot \frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right) \\ & =\frac{1}{2} \cdot(1+\sqrt{3} \cdot i) \\ & =1 \cdot\left(\cos \left(\frac{\pi}{3}\right)+i \cdot \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)\right) \end{aligned} \)
Also \( z^{n}=w=r(\cos (\varphi)+i \cdot \sin (\varphi)) \) mit \( r=1 \) und \( \varphi=\frac{\pi}{3} \).
Aus der Vorlesung kennen wir den Ansatz für die Nullstellen \( z_{k}=\hat{z}_{0} \cdot \hat{z}_{k} \) mit \( k=0,1, \ldots, n-1 \) und
\( \begin{array}{l} \hat{z}_{0}=\sqrt[n]{r}\left(\cos \left(\frac{\varphi}{n}\right)+i \sin \left(\frac{\varphi}{n}\right)\right) \\ \hat{z}_{k}=\cos \left(k \frac{2 \pi}{n}\right)+i \sin \left(k \frac{2 \pi}{n}\right) . \end{array} \)

Problem/Ansatz:

zum ersten teil:

warum ist phi hier pi/2, wenn doch der imaginärteil -7 < 0 ist und damit müsste phi = 3pi/2 sein.

zum zweiten teil:

wieso wurde hier pi/3 für phi gewählt. da r(z) > 0 und im(z) > 0 gilt, müsste man eigentlich phi = arctan(im(z)/r(z)) rechnen-

Answer 1

warum ist phi hier pi/2, wenn doch der imaginärteil -7 < 0 ist und damit müsste phi = 3pi/2 sein.

Hallo,

wenn der Winkel von 0 bis 2π angegeben wird, ist φ= 1,5π.

Wird er von -π bis +π angegeben, ist φ=1,5π - 2π = -0,5π.

Die Darstellung in Polarkoordinaten lautet

\(w=r\cdot e^{i\varphi}\)

Also

\( w:=-7 i \quad \Rightarrow \quad w=7 \mathrm{e}^{i \cdot\frac{-\pi}{2}} =7 \mathrm{e}^{-i \cdot\frac{\pi}{2}}\)

Beachte das Minuszeichen.

Zum zweiten Teil:

Teilt man ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 1 in der Mitte, so erhält man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen ½ und ½•√3. Das sind genau der Realteil und der Imaginärteil von z². Da ein Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck 60° beträgt, ist hier φ=60°=⅓π.

:-)

Answer 2

warum ist phi hier pi/2

Es ist ja - pi/2  und das entspricht  3pi/2

\( \frac{1}{2} \cdot(1+\sqrt{3} \cdot i)  = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i \)

und \(\cos (\frac{\pi}{3}) =  \frac{1}{2} \)

und \(\sin (\frac{\pi}{3}) =  \frac{\sqrt{3}}{2} \)

und mit \(  im(z)=  \frac{\sqrt{3}}{2} \) und   \(  re(z)=  \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Bekommst du arctan(√3) und das passt.