Aufgabe:
1)
Bestimmen Sie von der Gleichung z3=−7i alle Lösungen in den komplexen Zahlen.
Lösung.
Wir bestimmen zunächst die Polarkoordinatendarstellung von w : =−7i⇒w=7e−i2π.
Aus der Vorlesung folgt nun, dass die Gleichung z3=w die (einzigen!) Lösungen
zk=37⋅ei(3−2π+2kπ),k=0,1,2
besitzt, also
z0=37⋅e−i6π=37(23−2i),z1=37⋅ei2π=i⋅37,z2=37⋅ei67π=37(−23−2i).
2)
Aufgabe 1. (Polynome, Einheitswurzeln)
Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden quadratischen Gleichung:
z2=2−2i1−i+(1+i)3.
Vereinfachen Sie dafür zunächst den Ausdruck und schreiben Sie ihn anschließend in Polarkoordinaten.
Lösung.
Es gilt:
z2=2−2i1−i+(1+i)3=21⋅1−i1−i+(1+i)3=21⋅(1+3⋅(1−i)(1+i)(1+i)(1+i))=21⋅(1+3⋅i)=1⋅(cos(3π)+i⋅sin(3π))
Also zn=w=r(cos(φ)+i⋅sin(φ)) mit r=1 und φ=3π.
Aus der Vorlesung kennen wir den Ansatz für die Nullstellen zk=z^0⋅z^k mit k=0,1,…,n−1 und
z^0=nr(cos(nφ)+isin(nφ))z^k=cos(kn2π)+isin(kn2π).
Problem/Ansatz:
zum ersten teil:
warum ist phi hier pi/2, wenn doch der imaginärteil -7 < 0 ist und damit müsste phi = 3pi/2 sein.
zum zweiten teil:
wieso wurde hier pi/3 für phi gewählt. da r(z) > 0 und im(z) > 0 gilt, müsste man eigentlich phi = arctan(im(z)/r(z)) rechnen-