Ganzrationale Funktionen mit Parameter: ft(x)=t(x³+(t-4)x²+4(1-t)x+4t) a)Zeigen Sie, dass ft eine Nullstelle bei 2 hat.

Question

Hallo :)

Ich bin es mal wieder :)

Hier die Funktion:

ft(x)=t(x³+(t-4)x²+4(1-t)x+4t)

a)Zeigen Sie, dass ft eine Nullstelle bei 2 hat.

b)Stellen Sie ft in völlig faktorisierter Form dar.

c)Bestimmen Sie die Anzahl und die Vielfachheit der Nullstellen von ft on Abhängigkeit von t.

d)Berechnen Sie to so, dass der P(1;2) auf Gf liegt.

e)Zeichnen Sie für t=1 den zugehörigen Graphen.

a) und d) sowie e) bekomme ich alleine hin, bei b) und c) brauche ich Hilfe!

Wenn ich diese Funktion ausmultipliziere komme ich auf ein völlig wirres Ergebnis^^. Hier muss ich auf jeden Fall Polynomdivision machen, mich irritiert jedoch das t vor der Klammer :/

Zudem habe ich keine Idee, wie ich diese Funktion faktorisiere.



LG

Simon

Comments

Also wenn ich das völlig ausmultipliziere komme ich auf: ft(x)=tx³+t²x²-4tx²+4tx-4t²x+4t²

Ich habe bei Aufgabe a) ja eine Nullstelle schon, müsste dann dementsprechend durch (x-2) teilen, aber mit dieser Funktion...kommt mir ehrlich gesagt ein wenig spanisch vor :)

LG

Simon

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Wie muss ich hier ansetzen?

Wirklich so ausmultiplizieren? Gebt mir mal einen Ansatz, dann würde ich es erstmal selbst versuchen zu rechnen :)

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Sagt mal bitte bescheid, ich muss das heute noch lösen können ;)

 

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Aufgabe a) x=2 einsetzen und ausrechnen.

$$f_t(x)= t(x^3+(t-4)x^2+4(1-t)x+4t)$$$$f_t(2)= t(2^3+(t-4)2^2+4(1-t)2+4t)=t(8+(t-4)4+8(1-t)+4t)=t(8+4t-16+8-8t+4t)=t\cdot0=0$$

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Das war ja die Aufgabe, die ich selber schon gemacht habe. Ich brauche nur bei b) und c) Hilfe! :)

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Hi Simon,

schonmal ein paar Tipps, schaue es mir vielleicht später nochmals genauers an.


a) Setze x = 2 ein und hoffe, dass 0 rauskommt.

b) Das ist ein wenig blödes Geschäft. Da man aber schon die Nullstelle (x-2) kennt, ist es machbar. Polynomdivision und so.

Mit etwas Erfahrung kann man das Ergebnis auch erahnen. Ich komme auf:

t(x-2)^2(t+x)


c) Geht mit b) ganz gut

d/e) hast Du wohl schon ;).

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Bei c):

Ich muss ja ausmultipizieren bei Polynomdivision...

Wie soll ich denn das mit Polynomdivision machen, das ist ja ein ewig langer Term, oder?

Und wie kann ich vollständig faktorisiern bei b)?

LG

Simon

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Aufgabe b Polynomdivision:

(x^3+(t-4)x^2+4(1-t)x+4t):(x-2)=x^2+(t-2)x+t

-(x^3-2x^2)

       (t-2)x^2

       -((t-2)x^2-2(t-2)x)

                        +2(t-2)x

                                   tx

 

Mit Zettel und Stift geht das relativ fix.

Nach Polynomdivision ergibt sich: t*( x^2+(t-2)x+1)

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Danke, aber du hast erstens Rest rausbekommen und zweitens hast du ja das t ganz am Anfang vergessen, oder darf man das weglassen?

Wegen dem Rest...Lehrerin meinte, kommt nie Rest raus.

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Ja hab mich im letzten Schritt verrechnet.

statt tx muss -2tx stehen

Lösung ist x^2+(t-2)x-2t

Dann ist auch kein Rest

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Du hast die Lösung ja auch oben hingeschrieben mit *t davor. Was bringt mir das, wenn ich das t davorlasse? Dann habe ich ja keine Nullstellen...

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Nach Polynomdivision hast du

$$t*(x^2+(t-2)x-2t)$$

Wo liegt das Problem ich halte t fest und habe eine quadratische Gleichung mit x die es zu lösen gilt. Hast du  die Nullstellen der Gleichung kannst du die Zerlegung angeben

https://www.wolframalpha.com/input/?i=t%28x%C2%B3%2B%28t-4%29x%C2%B2%2B4%281-t%29x%2B4t%29%2F%2FSimplify

Hier mal die Lösung. Eine Nullstelle haben wir ja schon x=2

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@Simon: Ein Produkt ist dann 0, wenn es min. ein Faktor ist. Es spricht also nichts dagegen sich auf nur einen Faktor zu konzentrieren um ihn weiter zu faktorisiern (um die Nullstellen zu suchen) ;).

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@sigma: Postest Du Deine Tipps noch als Antwort?

Damit das letztlich als erledigt angesehen werden kann ;).

Answer 1

    Zugegeben - doof muss man sein. Man kann ja alles Mögliche machen; aber meinem alten Misstrauen folgend, gab ich erst mal alles in Wolfram ein. Ich muss dir gestehen; selber hätt ich nur die Hälfte gesehen. Wie tust du faktorisueren?



     f  (  x  ;  t  )  =  t  [  t  (  x  ²  -  4  x  +  4  )  +  x  ³  -  4  x  ²  +  4  x  ]        (  1  )


     Ich habe erst mal so um sortiert, dass du ein lineares Polynom in t bekommst. Und zwar entspricht der Steigungsfaktor einem Polynom in x und das Absolutglied auch. Jetzt binomische Formel + Ausklammern



      (  1  )  =  t  [  t  (  x  -  2  )  ²  +  x  (  x  ²  -  4  x  +  4  )  ]     =   (  2  )
   
                =  t  (  x  -  2  )  ²  (  x  +  t  )               (  3  )


     Unser Mathelehrer, der Scientologe " Rolf "  , war gefürchtet. So Klausuren wie euer Zeug, wenn der zu korrigieren gehabt hätte. Die Verbesserung wurde ja besprochen; und ( 3 ) ist unwidersprochen die Musterlösung. Weißt du, was er gesagt hätte?

      " Meine Herren; das war alles ... "
 
       Bei dem spruch rieselte es jedem von uns Eis kalt den Rücken runter.
       Ein übriges Mal sind meine Kritiker widerlegt, die da bellen, ich solle mich an die Standardlösungen aus dem Buch halten; Schüler " dürfe man nicht verwirren " Das Ergebnis ( 3 ) verdankt sich ausschließlich dem Umstande, dass du etwas " siehst " Immerhin handelt es sich um ein Polynom in ZWEI Veränderlichen; rein von meinen drei Silvestern Mensa her würd ich erst mal so ins Blaue hinein urteilen, es gibt keine Algoritmen, wie sich Poynome in mehreten Veränderrlichen faktorisieren lassen ( Auch ich kann Deutsch sprechen; ich sage " Veränderliche " und nicht " Variable " )
    Jetzt war aber nochwas gefragt ( Und zwar beschränke ich mich hier auf das Wesentliche. ) Der will nämlich wissen, mit welcher Vielfachheit dass die ganzen Nullstellen kommen.  Mathematiker erkennst du immer daran, dass bei ihnen jeder Lösungsansatz mit dem wort " trivial " beginnt. Und zwar ist der Fall t = 0 trivial ( warum? )
   Dann ist da die Nullstelle x = 2 ; was mich voll überrascht: Sie ist nicht einfach. Fallunterscheidung; in dem Sonderfall t = ( - 2 ) ist sie sogar 3-fach, sonst doppelt.

Answer 2

Polynomdivision mittels HornerSchema:

$$f_t(x)=t \cdot (x^3+(t-4)x^2 +4(1-t)+4t):(x-2)\\=t\cdot(x^2+(t-2)x-2t)$$

$$  \begin{aligned}&& 1 && t-4 && 4(1-t)&&4t\\2 && &&2 &&2t-4 && -4t\\\hline&& 1&& t-2 && -2t && 0
 \end{aligned} $$

Comments

Ganzganz großes Lob; die Erkenntnisse setzen sich eben doch durch.