Exponentialfunktionen Unverständnis

Question

Aufgabe:

Im Jahr 2017 hat eine kleine Gemeinde am Rande einer Großstadt 10 000 Einwohner. Die Verwaltung geht für die nächsten Jahre von einer jährlichen Zunahme der Bevölkerung um 4 % aus.
a) Erstellen Sie einen Funktionsterm für die Einwohnerzahl in Abhängigkeit von der Zeit.
b) Ermitteln Sie die Wachstumsgeschwindigkeit und vergleichen Sie diese mit der Einwohnerzahl.

Problem/Ansatz:

Ich habe zwei Ansätze, weiß aber nicht, welcher richtig ist.

Ansatz 1:

f(t)=10000*1,04^t

Die Wachstumsgeschwindigkeit wäre dann ja die Ableitung also f´(t)=ln(1,04)*f(t)

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist dann ln(1,04)~3,9%.

Ansatz 2:

g(t)=10000*e^(0,04*t)

Die Wachstumsgeschwindigkeit wäre dann ja wieder die Ableitung also g´(t)=0,04*g(t)

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist dann ja 0,04=4%.

Ich bin mir unsicher, wann man bei einer Exponentialfunktion "e" benötigt und wann nicht, vielleicht kann mir da ja jemand weiter helfen :)

Comments

Exponentialfunktion heißt nicht Funktion mit
Basis " e ".
Sondern die Variable x ist im Exponent
Die Basis beliebig.

Einfachstes Beispiel

y ( x ) = b^x

Answer 1

f(t)=10000*1,04^t

Das ist richtig.

g(t)=10000*e^0,04*t

Das ist falsch. Korrekt ist

        \(g(t)=10000\cdot\mathrm{e}^{t\cdot \ln 1,04}\)

wann man bei einer Exponentialfunktion "e" benötigt

Nie.

Jede Exponentialfunktion

        \(f(x) = a\cdot b^x\qquad b>0,\ b\neq 1\)

mit Basis \(b\) kannst du mittels \(b = c^{\log_cb}\) (\(c>0,\ c\neq 1\)) umformen zu

        \(f(x) = a\cdot \left(c^{\log_cb}\right)^x\)

und weiter mittels Potenzgesetzen zu

    \(f(x) = a\cdot c^{x\cdot \log_cb}\)

und du hast eine Exponentialfunktion mit Basis \(c\).

Answer 2

f(t) = 10 000*1,04^t = 10000*e^(ln1,04*t)

f '(t) = 1,04^t * ln1,04

Es gilt Folgendes:

f(x) = a^x -> f'(x) = a^x*lna = lna*f(t)