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Ich habe eine Frage bezüglich der Konstruktion eines Fixpunktes mittels Verschiebung und spiegelung.

Beispiel:

Sei A=(3|1)  v=\( \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} \).

Verschiebe um v und drehe anschließend um A um 45°. Ich habe eine Frage bezüglich der Reihenfolge: wäre der Fixpunkt immer noch der gleiche, wenn wir zuerst um A um 45° drehen und dann um v verschieben würden? Und warum verschieben wir nach unten um v/2 und nicht nach oben?


20230227_193532.jpg

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Hallo

die erste Frage kannst du selbst verantworten in dem du F erst drehst, dann verschiebst. fällt er auf sich selbst zurück?

lul

Also, wenn ich das richtig gemacht haben sollte, sieht es gleich aus.

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo,

Ich habe eine Frage bezüglich der Reihenfolge: wäre der Fixpunkt immer noch der gleiche, wenn wir zuerst um A um 45° drehen und dann um v verschieben würden?

Nein, er wäre nicht der gleiche. Die Kombination von Drehung und Verschiebung ist im Allgemeinen nicht kommutativ; d.h. es kann nicht vertauscht werden.

blob.png

Der Fixpunkt, nach dem in der Aufgabe gefragt ist, ist \(F\) (gelb). Eine Verschiebung (1) um \((2|1)\) und anschließende Drehung (2) um \(A\) um \(45° \) bringt ihn wieder an den ursprünglichen Ort zurück.

Vertauscht man die Reihenfolge von Verschiebung und Drehung, so ist \(F'\) (blau) der dazu passende Fixpunkt. Wichtig dabei: eine Drehung um den Punkt \(A\) um \(45°\) ist immer(!) eine Drehung in mathematisch positiver Richtung, also gegen den Uhrzeigersinn (der schwarze Pfeil).

Und warum verschieben wir nach unten um v/2 und nicht nach oben?

weil die Drehung nach der Verschiebung kommt. Man sucht den Punkt also dort, wo die Drehung ihn nach der Verschiebung wieder hindreht; nämlich aus der Position \(F'\) nach \(F\).

Wenn etwas unklar ist, so frage nochmal nach.

Gruß Werner



Avatar von 48 k
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Hallo

eine Verschiebung um v kann man ersetzen durch 2 Spiegelungen an 2 Parallelen (senkrecht zu v )  im Abstand v/2, das sind deine 2 Parallelen AD und CD, du spiegelst  zuerst an AD dann an CD, dadurch kommt das v/2 zustande. Die Drehung um 45° an A kann man auch durch  Spiegelung an 2 Geraden  durch A mit halbem Winkel ersetzen, Dann wird 2 mal an AD gespiegelt, was sich aufhebt und es bleibt die Spiegelung an AF.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

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