Angabe von Gegenbeispielen, dass die Existenz eines Fixpunktes von f in I nicht garantiert ist, falls....

Question

Es seien I ein abgeschlossenes Intervall (d.h. ein Intervall der Form [a, b], [a, ∞), (−∞, b] oder auch (−∞, ∞)).  

Zeigen Sie durch die Angabe von Gegenbeispielen, dass die Existenz eines Fixpunktes von f in I nicht garantiert ist, falls

(i) I ein offenes Intervall ist, oder

(ii) die Bedingung (1) durch |f (x) − f (y)| < |x − y|,  x, y ∈ I ersetzt wird.

Comments

I = [1, 2], f: I→ℝ, x↦0 hat keinen Fixpunkt, erfüllt aber |f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|, x, y ∈ I für jedes k≥0.

Also hat auch I_g = (1, 2), g: I_g→ℝ, x↦0 keinen Fixpunkt und erfüllt |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|, x, y ∈ I.

Ich vermute du hast eine wesentliche Voraussetzung vergessen. Sonst ist die Aufgabe trivial.