Konvergenz von Cauchyfolgen

Question

Aufgabe:

Ich hab folgende Frage:

Wir haben x,y ∈ ℝ mit x < y gegeben. Und ich will jetzt zeigen, dass jede Cauchyfolge (a_n)_n∈ℕ mit (a_n)_n∈ℕ ⊂ [x,y] in [x,y] konvergiert.

Problem/Ansatz:

Also mir ist klar, dass (a_n) konvergiert, da es eine Cauchy-Folge ist. Und ich find es ist irgendwie logisch, dass sie nur in dem Intervall konvergieren kann, da jedes Folgenglied von (a_n) in dem Intervall liegen muss, also kann der Grenzwert nur in dem Intervall liegen oder? Aber wie beweise ich das ganze jetzt? Hoffe mir kann jemand helfen.

Comments

Naja du musst ja nur zeigen, dass dein abgeschlossenes Intervall vollständig ist. Das ist aber relativ einfach. Weil an element aus deinem abgeschl. Intervall auch eine cauchy folge in R ist konvergiert sie in R. Da aber dein Intervall abgeschlossen ist liegt jeder GW von Konvergenten Folgen auch in deinem Intervall. Ergo ist dieses Vollständig bzw. Cauchy folge konvergiert. Also die Idee ist es nur zu zeigen, dass dein GW in dem Intervall liegt, das ist aber wegen der Abgeschlossenheit klar.