produkt von cauchyfolgen.

Question

es gilt ja: das Produkt zweier Cauchyfolgen ist eine Cauchyfolge.

Heißt das denn auch, dass jede Cauchyfolge sich in ein Produkt zweier Cauchyfolgen zerlegen lässt?

Answer 1

das kommt auf die zugrunde liegende Menge an. Für \( \mathbb{R} \) gibt es beliebige, für \( \mathbb{Q} \) bedingt beliebige Zerlegungen.

In \( \mathbb{R} \) "zerfällt" eine Cauchyfolge \( a_i \) beispielsweise in \( n \) "Faktoren" \( \sqrt[n]{a_i} \). Dabei gibt es für jedes \( n \) eine derartige Zerlegung, sprich unendlich viele Zerlegungen.

In \( \mathbb{Q} \) lässt sich eine Cauchyfolge womöglich zerlegen, wenn zumindest Zähler und Nenner eines jeden Folgenglieds in \( \mathbb{Z} \) zerlegbar sind.

MfG

Mister

Comments

Ein triviales Beispiel für die Zerlegung einer Cauchyfolge \( (a_i) \) ist das Produkt mit der Einsfolge:

\( (a_i) = (1)\cdot(a_i) := (1 \cdot a_i) \).