Sei $$M:=\{x \in [a,b] : f(x) \leq x\} $$ und $$ s:=\text{inf}\, M\in [a,b].$$ Die Menge M ist nichtleer, da b in M liegt, sowie nach unten beschränkt. Also existiert das Infimum.
Sei s>a.
Es existiert eine monoton fallende Folge $$(x_n)$$ in M, die gegen s konvergiert. Für alle positiven t mit $$s-t\in [a,b]$$
gilt $$s-t < f(s-t).$$
Da f monoton wachsend ist und die Folge in M liegt, gilt
$$s-t < f(s-t) \leq f(s) \leq f(x_n) \leq x_n \rightarrow s \; (n\rightarrow \infty )$$
für alle positiven t mit $$s-t\in [a,b].$$
Hieraus folgt $$s \leq f(s) \leq s, $$ also $$f(s)=s.$$
Der Fall s=a läuft ähnlich.
Dies zeigt, dass ein x in [a,b] existiert mit f(x)=x.